$11$ 月，$2019$ 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地一一安徽凤阳举办，其间甲、乙两人 轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一 位置，甲先投，每人投一次球，两人有 $1$ 人命中，命中者得 $1$ 分，末命中者得 $-1$ 分；两人都命中或都末命中，两人均得 $0$ 分．设甲每次投球命中的概率为 $\dfrac{1}{2}$，乙每次投球命中的概率为 $\dfrac{2}{3}$ 且各次投球互不影响．
1、经过 $1$ 轮投球，记甲的得分为 $X$，求 $X$ 的分布列．
2、若经过 $n$ 轮投球，用 $p_i$ 表示经过第 $i$ 次投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．
① 求 $p_1, p_2, p_3$．
② 规定 $p_0=0$，经过计算机计算可估计得 $p_i=a p_{i+1}+b p_i+c p_{i-1}$（$b \neq 1$），请根据 ① 中 $p_1 , p_2 , p_3$ 的值分别写出 $a , c$ 关于 $b$ 的表达式，并由此求出数列 $\left\{p_n\right\}$ 的通项公式．
武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片．为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 $1$ 分，若继续游玩东湖记 $2$ 分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为 $\dfrac{1}{2}$，游客之间选择意愿相互独立．
1、从游客中随机抽取 $ 3$ 人，记总得分为随机变量 $X$，求 $X$ 的分布列与数学期望．
2、回答下列问题：
① 若从游客中随机抽取 $m$ 人，记总分恰为 $m$ 分的概率为 $A_m$，求数列 $\left\{A_m\right\}$ 的前 $ 10 $ 项和．
② 在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为 $n$ 分的概率为 $B_n$，探讨 $B_n$ 与 $B_{n-1}$ 之间的关系，并求数列 $\left\{B_n\right\}$ 的通项公式．
已知红箱内有 $5 $ 个红球、$3$ 个白球，白箱内有 $3$ 个红球、$5$ 个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 $k+1$ 次从与第 $k$ 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，记第 $n$ 次取出的球是红球的概率为 $P_n$，则下列说法正确的是 （ ）
A．$P_2=\dfrac{17}{32}$
B．$P_{n+1}=\dfrac{1}{2} P_n+\dfrac{7}{32}$
C．$P_{n+1}^2-P_{n+1}=P_n P_{n+2}-\dfrac{1}{2}\left(P_n+P_{n+2}\right)$
D．对任意的 $i, j \in \mathbb{N}^{*}$ 且 $1 \leqslant i<j \leqslant n$，$\displaystyle\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(P_i-\frac{1}{2}\right)\left(P_j-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{180}\left(1-4^{-n}\right)\left(1-4^{1-n}\right)$
在 $3\times 3$ 的网格中，$9$ 个方格中每个位置都染为红色或者蓝色，其中既有 $3$ 个蓝格共线又有 $3$ 个红格共线的不同放置方式有多少种？（ ）
A．$39$
B．$42$
C．$78$
D．$84$
E．$96$
已知函数 $f(x)=\ln (1+x)+a x \mathrm{e}^{-x}$．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程．
2、若 $f(x)$ 在区间 $(-1,0)$，$(0,+\infty)$ 各恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．
已知不等式 $x\ln x-m(x-1)+2x-1>0$ 在 $x\in(1,+\infty)$ 上恒成立，则整数 $m$ 的最大值是______．
已知函数 $f(x)=a {\rm e}^{2 x}-a{\rm e}^x-x{\rm e}^x$（$a \geqslant 0$，${\rm e}=2.718 \cdots$，${\rm e}$ 为自然对数的底数），
1、若 $f(x) \geqslant 0$ 对于 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立． 求实数 $a$ 的值．
2、证明：$f(x)$ 存在唯一极大值点 $x_0$，且 $\dfrac{\ln 2}{2 \mathrm{e}}+\dfrac{1}{4 \mathrm{e}^2} \leqslant f\left(x_0\right)<\dfrac{1}{4}$．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\ln (x+a)$．
1、若 $a=2$，证明：$f(x)>\dfrac 16$．
2、若 $a=\dfrac 94$，证明：$f(x)>0$．
