已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $P\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$（$x_0>0$）处的切线为 $l$．
1、证明：$l$ 与曲线 $y=f(x)$ 有一个异于点 $P$ 的交点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$，且 $x_1<0$．
2、在第 $(1)$ 小题的条件下，求 $\dfrac{x_0}{x_1}$ 的取值范围．
已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，若 $a=\sqrt{3}$，$b^{2}+c^{2}-b c=3$，则 $\triangle A B C$ 面积的取值范围是（ ）
A．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$
B．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$
C．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$
D．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$
已知曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 与直线 $l: x-y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，记直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点 $E$，点 $E, F$ 关于原点对称，若 $\angle A F B=90^{\circ}$，则（ ）
A．$2 a^{2}+b^{2}=a^{2} b^{2}$
B．曲线 $C$ 过 $ 4$ 个定点
C．存在实数 $a$，使得 $|A B|=3$
D．$|A B|<\dfrac{7}{2}$
已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，$P$ 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，$I$ 为 $\triangle P F_1 F_2$ 的内心，记直线 $O P, O I$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，若 $k_1=\dfrac{3}{2} k_2$，则椭圆 $E$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac{1}{3}$
B．$\dfrac{1}{2}$
C．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_{n+2}+(-1)^n a_n=2 n$，且 $S_8=68$，则以下结论正确的有（ ）
A．$a_1=4$
B．数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）为递增数列
C．数列 $\left\{a_{4 n}\right\}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）为等差数列
D．$\dfrac{a_{2 n+2}+a_{2 n}}{a_{2 n+1}}$（$n \in\mathbb N^{\ast}$）的最大值为 $\dfrac{4}{7}$
已知 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$（$\omega>0$）满足 $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$，$f\left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)=0$ 且 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{6}\right)$ 上单调，则 $\omega$ 的最大值为（ ）
A．$\dfrac{12}{7}$
B．$\dfrac{18}{17}$
C．$\dfrac{6}{17}$
D．$\dfrac{30}{17}$
已知函数 $f(x)=a x {\rm e}^x-a x+a-{\rm e}^x$（$a>0$），若有且仅有两个整数 $x_i$（$i=1,2$），满足 $f\left(x_i\right)<0$，则实数 $a$ 的取值范围为_______．
已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，$b_1=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{a_n}$，$b_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{b_n}$，其中 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，则下列选项正确的有（ ）
A．$\dfrac{a_2}{b_2}+\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{17}{4}$
B．$a_{100}^2+b_{100}^2=\dfrac{5}{2} a_{100} \cdot b_{100}$
C．$200<a_{100} \cdot b_{100}<\dfrac{449}{2}$
D．$a_{100}-b_{100}<-15 \sqrt{2}$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中给定 $a_1$，且函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x^3-a_{n+1} \sin x+\left(a_n+2\right) x+1$ 的导函数有唯一零点，函数 $g(x)=12 x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin (\pi x)-\dfrac{1}{2} \cos (\pi x)$ 且 $g\left(a_1\right)+g\left(a_2\right)+\cdots+g\left(a_9\right)=18$，则 $a_5=$ ( )
A．$\dfrac{1}{4}$
B．$\dfrac{1}{3}$
C．$\dfrac{1}{6}$
D．以上答案都不正确
已知正 $\triangle A B C$ 的边长为 $4 \sqrt{3}$，内切圆圆心为 $I$，点 $P$ 满足 $\left|\overrightarrow{P I}\right|=1$．
1、求证：$\overrightarrow{P A}^2+\overrightarrow{P B}^2+\overrightarrow{P C}^2$ 为定值．
2、把三个实数 $a, b, c$ 的最小值记为 $\min \{a, b, c\}$，若 $$ m=\min \left\{\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}, \overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}, \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}\right\}, $$求 $m$ 的取值范围．
3、若 $x \overrightarrow{P A}+y \overrightarrow{P B}+z \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$（$x, y, z \in \mathbb R^{+}$），求当 $\dfrac{y}{x}$ 取最大值时，$\dfrac{z}{x+y}$ 的值．
