任意封闭图形的四等分

用连续函数的介值定理证明：

对平面上任何一个封闭区域，都存在两条相互垂直的直线将其面积四等分．

先思考一个简单的问题：

对平面上任何一个封闭区域，在任意方向上都存在直线将其面积等分．

         如下图两种连续移动都可以满足介值定理的前提（考虑直线两侧面积之差）．

        如下图，通过平行移动的方式很容易证明，在任意一个方向上都可以先找到一条直线$a$使之平分封闭区域的面积，然后可以找到垂直于直线$a$的另一条直线$b$也可以平分封闭区域的面积．请注意，此时我们得到的仅为$I+II=III+IV=I+IV=II+III$，也即$I=III,II=IV$．若$I=II$，则命题得证；否则不妨设$I<II$．

         接下来，我们逆时针调整直线$a$的方向，直到$a\to b$，$b\to a$，如下图．

        在这个调整过程中，$I \to II$，$II \to I$，于是根据介值定理，必然存在某一时刻$I=II$．因此原命题得证．