每日一题[237] 正三角形的亲密度

在正三角形$ABC$的底边$BC$上取中点$M$，在与底边$BC$相邻的两条边$BA$和$CA$上分别取点$P$、$Q$，若线段$PQ$对$M$的张角$\angle PMQ$为锐角，则称点$P$、$Q$亲密．若点$P$、$Q$在$BA$、$CA$上的位置随机均匀分布，则$P$、$Q$亲密的概率称为正三角形的亲密度．试求正三角形的亲密度．

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正确答案是$\dfrac {6-3\ln 3}{4}$，约为$0.676$．

解     不妨设$AB=BC=CA=2$，记$BP=x$，$0\leqslant x\leqslant 2$．

过$M$作$PM$的垂线，交$AC$于$R$，则当$Q$落在线段$AR$内部及$A$点上时，$P$与$Q$是亲密的．记$AR$的长度为$y=f(x)$．

由

$$PM^2+MR^2=RP^2,$$ 及余弦定理得 $$\left(x^2-x+1\right)+\left[(2-y)^2-(2-y)+1\right]=(2-x)^2-(2-x)y+y^2,$$ 整理得 $$y=\dfrac{3x}{1+x},$$ 因此正三角形的亲密度为 $$\dfrac 14\int_{0}^{2}\dfrac{3x}{1+x}{\mathrm d}x=\dfrac{6-3\ln 3}4.$$

接下来，直觉上我们知道正方形的亲密度一定比正三角形低，那么具体的数值是多少呢？留给读者作练习吧！

答案    $\dfrac{3-2\ln 2}4$，约为$0.403$．

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注    有趣的是，我们很容易证明正三角形的亲密度大于$0.5$，而正方形的亲密度小于$0.5$．