每日一题[136] 平面向量上的“攻守战”

发表于2015年6月4日由意琦行

2013年高考广东卷文科数学第10题（选择压轴题）：

设a→是已知的平面向量且a→≠0→，关于向量a→的分解，有如下四个命题：

①  给定向量b→，总存在向量c→，使a→=b→+c→；

②  给定向量b→和c→，总存在实数λ和μ，使a→=λb→+μc→；

③  给定单位向量b→和正数μ，总存在单位向量c→和实数λ，使a→=λb→+μc→；

④  给定正数λ和μ，总存在单位向量b→和单位向量c→，使a→=λb→+μc→．

上述命题中的向量b→、c→和a→在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（        ）

A．1

B．2

C．3

D．4

cover正确答案是B．

真命题为①②．

对于这类同时包含全称量词和特称量词的命题，我们可以利用“攻守战”来理解．在本题中，作战的大环境为已知非零向量a→，双方作战的基本规则为保证向量a→、向量b→、向量c→在同一个平面内，且两两不共线．在每个命题中 “进攻方”与“防守方”都拥有一定的资源，比如在命题①中，“进攻方”掌握的资源为b→，而作为“防守方”，掌握的资源为c→．我们需要同时扮演双方，并且推断出在双方都足够聪明的情况下，哪一方有必胜的策略．

①  “防守方”必胜．

对任意的向量b→，取c→=a→−b→．考虑到b→与a→不共线，于是显然有c→既不与a→共线，也不与b→共线，符合题设．此时就有  a→=b→+c→成立，“防守方”稳操胜券，因此命题①正确．

②  “防守方”必胜

对任意给定的不共线向量b→和c→，它们构成平面的一组基底．因此根据平面向量分解的基本定理，平面上的任意向量（包括且不限于向量a→）都可以由向量b→和c→唯一线性表示，“防守方”防守得无懈可击，因此命题②正确．

③  “进攻方”必胜

作为“进攻方”，我们首先给出与向量a→不共线的向量b→．考虑到“防守方”握有实数λ，因此λb→可以遍布向量b→所在的整条基线．此时考虑“防守方”为了达到目的，就要使得μc→=a→−λb→．a→−λb→有无数种可能，如图．

QQ20150603-1

此时“进攻方”还拥有一张王牌——实数μ，我们发现“防守方”的重要资源之一向量c→有致命缺陷——长度为1，于是可以采用以下策略保证“进攻方”必胜：令μ为向量a→的终点到向量b→的基线距离的一半，则向量μc→会受到长度的限制而无法成为无数个向量a→−λb→中的任何一个，因此命题③错误．

④  “进攻方”必胜

有了③的经验，这次“进攻方”的获胜要简单很多．由于“防守方”的资源——向量b→和向量c→的长度均被限制为1，于是可以令λ=μ=13|a→|，则无论如何向量λb→+μc→的长度不超过23|a→|，因此等式a→=λb→+μc→无法成立，“进攻方”轻松获胜，因此命题④错误．

综上，只有命题①②为真命题，正确答案为B．

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