2015年已接近尾声，2016年即将来到．据说在近期北理工的数学分析课上，老师给同学们的祝福语相当别致：
设$a_1=\sqrt{1+2015}$，$a_2=\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016}}$，$a_3=\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+2017}}}$，
一般的，设$a_n=\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}$，$n\in \mathbf {N_+}$．
求证：数列$\{a_n\}$收敛，并求$\lim\limits_{n \to \infty}a_n$的值．
谨以此题恭贺2016年新年！
这祝福，还真是让人感动的想哭啊……
解答 显然，$a_n>1$对于任意的正整数$n$恒成立．
因为
\[\begin{split}&\lvert a_n-2016 \rvert\\=&\left \lvert \sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}-2016 \right \rvert\\=&\left \lvert \dfrac {2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}-2015\times 2017}{\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}+2016}\right \rvert\\<&\dfrac {2015}{2017}\left \lvert \sqrt{1+2016\sqrt{1+2017\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}-2017\right \rvert\\=&\dfrac {2015}{2017}\left \lvert \dfrac {2016\sqrt{1+2017\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}-2016\times 2018}{\sqrt{1+2016\sqrt{1+2017\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}+2017}\right \rvert\\<&\dfrac {2015 \times 2016}{2017\times 2018}\left \lvert \sqrt{1+2017\sqrt{1+2018\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}-2018\right \rvert\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\<&\dfrac {2015\times 2016\times \cdots \times (2013+n)}{2017\times 2018\times \cdots\times (2015+n)}\left\lvert \sqrt{1+(2014+n)}-(2015+n) \right\rvert\\<&\dfrac {2015\times 2016\times \cdots \times (2013+n)}{2017\times 2018\times \cdots\times (2015+n)}\times (2014+n)\\=&\dfrac{2015\times 2016}{2015+n}, \end{split}\]
所以数列$\{a_n\}$收敛，且有$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=2016$．
还真是完美的2016年新年祝福呢~~
不过，怎么想到2016这个数的呢……当然是因为：
（1）我比较机智；
（2）这是2016年新年祝福啊！（来年改个数，这个祝福还能用~）
（3）拉马努金恒等式．事实上，如果注意到$$n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)},$$则有
$$\begin{split}&2016\\=&\sqrt{1+2015\times 2017}\\=&\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\times 2018}}\\=&\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+2017\times 2019}}}\\=&\cdots.\end{split}$$
当然，这个做法是不严谨的．可是确实能算出结果，不服你打我呀~
不过说真的，我们可以先用这样的方法猜测出结果，然后再用严格的极限语言来推导．
无独有偶，2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报中，也出现过拉马努金恒等式的身影．
如图，海报中左边是恒大队，右边是首尔队，数学棒棒的你，能否看出该海报的寓意？
解答 我们先来解决左边那个式子．
设$a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$，
显然，$a_n\geqslant 1$对于任意的正整数$n$恒成立．
因为
\[\begin{split}&\lvert a_n-3 \rvert\\=&\left \lvert \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-3 \right \rvert\\=&\left \lvert \dfrac {2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-2\times 4}{\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+3}\right \rvert\\<&\dfrac {2}{4}\left \lvert \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-4\right \rvert\\=&\dfrac {2}{4}\left \lvert \dfrac {3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-3\times 5}{\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+4}\right \rvert\\<&\dfrac {2 \times 3}{4\times 5}\left \lvert \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-5\right \rvert\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\<&\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\left\lvert \sqrt{1+n}-(1+n) \right\rvert\\<&\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\times n\\=&\dfrac{6}{n+1}, \end{split}\]
所以数列$\{a_n\}$收敛，且有$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3$．
当然，以下做法虽不严谨，但构思精巧，可以得出结果：
$$\begin{split}&3\\=&\sqrt{1+2\times 4}\\=&\sqrt{1+2\sqrt{1+3\times 5}}\\=&\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\times 6}}}\\=&\cdots.\end{split}$$
至于右边那个式子嘛，就是鼎鼎大名的欧拉公式了，\(\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1=0\)．
欧拉公式的详情请听下回分解．
注 2013年11月9日，2013赛季亚冠联赛决赛次回合，在广州市天河体育场展开争夺，中国广州恒大主场迎战韩国首尔FC．经过90分钟的激战，双方1-1战平．双方总比分战成3-3，广州恒大凭借客场进球多的优势夺冠．广州恒大拿到亚冠冠军，是中国足球职业化以后，中国俱乐部首次站在亚洲俱乐部赛事的最高领奖台上．