2014年北京中考数学24题最后一问

在正方形$ABCD$的外侧作直线$AP$，点$B$关于直线$AP$的对称点为$E$，连接$BE，DE$，其中$DE$交直线$AP$于点$F$．若$45^\circ<\angle PAB<90^\circ$，则$AB，EF，FD$存在怎样的等量关系？

分析 求三条分散的线段关系，一般要将线段集中在一个三角形中或一条直线上，因为已知中有对称点，所以我们可以通过对称去转移线段．
解
连接$BF，BD$．根据对称的性质可得

$$EF=FB,$$ 因为$BD=\sqrt 2 AB$，所以将$AB，EF，FD$三条线段转移到了$\triangle FBD$中．连接$AE$，则 $$\angle AED=\angle ADE=\angle ABF,$$ 所以 $$\angle BAD=\angle BFD=90^\circ,$$ 所以 $$EF^2+FD^2=BD^2=2AB^2.$$
练习　在等边三角形$ABC$外侧作直线$AP$，点$B$关于直线$AP$的对称点为$D$，连接$BD，CD$，其中$CD$交直线$AP$于点$E$．若$60^\circ<\angle PAB<120^\circ$，证明由线段$AB、CE、DE$可以构成一个含有$60^\circ$角的三角形．
解
连接 $AD$，$BE$，根据对称的性质，将$DE$，$AB$，$EC$转移到$\triangle BEC$中，则$\angle ADC=\angle ACD=\angle ABE$，所以$\angle BEC=\angle BAC=60^\circ$所以线段$AB、CE、DE$可以构成一个含有$60^\circ$角的三角形．