三个臭皮匠顶个诸葛亮

如图,\(AB\perp BC\),\(AD\parallel BC\),\(AB=3\),\(AD=2\).点\(P\)在线段\(AB\)上,连接\(PD\),过点\(D\)作\(PD\)的垂线,与\(BC\)相交于点\(C\).设线段\(AP\)的长为\(m\),\(\triangle PDC\)的面积为\(S\),求\(S\)关于\(m\)的函数解析式.1


方法一 由\(\angle PAD=\angle PDC=90^\circ\),可构造“一线三等角”得相似.3如图,过点\(C\)作\(CE\perp AD\)于点\(E\),则\[\triangle PAD \sim \triangle DEC.\]所以\[\dfrac {AD}{EC}=\dfrac {PD}{DC},\ {即}DC=\dfrac 32PD.\]故\[S_{\triangle PDC}=\dfrac 12PD\cdot DC=\dfrac 34 m^2+3.\]

方法二 图中线段垂直关系较多,可建立平面直角坐标系,用\(m\)表示点\(C\)的坐标,从而由\(S=S_{梯形ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}\)得\(S\)关于\(m\)的函数解析式.

2如图,\(A(0,3),B(0,0),D(2,3),P(0,3-m)\).
求得直线\(PD\)解析式为\[y=\dfrac m2 x+3-m.\]由\(CD\perp PD\)可得直线\(CD\)解析式为\[y=-\dfrac 2m x+\dfrac {3m+4}m.\]所以\(C\left(\dfrac {3m+4}2,0\right)\),则\[\begin{split}S&=S_{梯形ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}\\ &=\dfrac 34 m^2+3.\end{split}\]
显然上述两种方法中,代数方法计算量大易出错,几何方法比较简单.一般一条直线上有两个角相等,可考虑添加辅助线构造“一线三等角”模型.


练习 如图,在梯形\(ABCD\)中,\(AB\parallel CD\),\(AB=2\),\(AD=4\),\(\tan C=\dfrac 43\),\(\angle ADC=\angle DAB=90^\circ\),\(P\)是腰\(BC\)上一个动点(不含\(B,C\)),作\(PQ\perp AP\)交\(CD\)于点\(Q\).设\(BP=x\),\(CQ=y\),试求\(y\)关于\(x\)的函数解析式.4答案 \(y=\dfrac{-5x^2+19x+30}{3x+10}\).

提示 过点\(P\)作\(CD\)的垂线,交\(AB\)延长线于点\(E\),交\(CD\)于点\(F\).5

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