2015年安徽省中考数学压轴题

2015年安徽省中考数学第23（3）题：

如图，在四边形$ABCD$中，点$E,F$分别是$AB,CD$的中点，过点$E$作$AB$的垂线，过点$F$作$CD$的垂线，两垂线交于点$G$，连接$AG,BG,CG,DG$，且$\angle AGD=\angle BGC$．若$AD,BC$所在的直线互相垂直，求$\dfrac {AD}{EF}$．

---

证明与解    由题意可得$\triangle AGB$和$\triangle DGC$为共顶点等顶角的两个等腰三角形，这是初中平面几何中常见的“手拉手模型”，易证

$$\triangle AGD \cong \triangle BGC,\triangle AGD \sim \triangle EGF.$$ $AD,BC$为不相交且互相垂直的两条线段，一般通过延长或平移线段得直角．

方法一　利用中点中线倍长连接$CE$并延长至点$H$，使得$EH=EC$，连接$AH$．则

$$AH \parallel BC,AH=BC.$$ 连接$DH$，则$\triangle ADH$为等腰直角三角形．
而点$E,F$为$CH,CD$的中点，所以 $$\dfrac {AD}{EF}=\dfrac {AD}{\dfrac 12 DH}=\sqrt 2.$$

方法二　利用中点构造中位线
四边形， 如图，连接$BD$并取中点$H$，连接$EH,FH$，则$\triangle EHF$为等腰直角三角形．
所以

$$\dfrac {AD}{EF}=\dfrac {2EH}{EF}=\sqrt 2.$$
注　若四边形一组对边相等，另一组对边给中点，则连对角线取中点得等腰三角形．

方法三　延长线段得直角延长$AD,BC$交于点$H$，与$BG$交于点$I$，则$\angle AHB=90^\circ$．
已证$\triangle AGD \cong \triangle BGC$，得$\angle GAI=\angle HBI$，所以

$$\angle AGI =\angle BHI=90^\circ.$$ 由$\triangle AGD \sim \triangle EGF$，可得 $$\dfrac {AD}{EF}=\dfrac {AG}{EG}=\sqrt 2.$$

更多“中点”问题请阅读：《小小的点儿，大大的能量》