练习题[3] 创新能力培养基础练习

1、 已知$x,y$为正数，且满足

$$\begin{cases}1\leqslant\lg (xy^2)\leqslant 2,\\-1\leqslant\lg\dfrac{x^2}y \leqslant 2,\end{cases}$$ 则$\lg\dfrac{x^3}{y^4}$的最大值是________．

2、三棱柱$ABC-A'B'C'$的底是边长为$1$的正三角形，高$AA'=1$，在$AB$上取一点$P$，设三角形$PA'C'$与底面所成的二面角为$\alpha$，三角形$PB'C'$与底面所成的二面角为$\beta$，则$\tan (\alpha+\beta)$的最小值为________．

3、已知$[x]$表示不超过$x$的最大整数．设$f(x)=\left[x[x]\right]$，当$x\in [0,n)$，其中$n\in\mathcal N^*$时，函数$f(x)$的值域中的元素个数$a_n=$________．

4、设椭圆$\dfrac{x^2}4+y^2=1$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，$M$为椭圆上异于长轴端点的一点，$\angle F_1MF_2=2\theta$，三角形$MF_1F_2$的内心为$I$，则$MI\cdot\cos\theta=$_________．

5、已知三点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(3,y_3)$，其中$y_1,y_2,y_3\in\{4,5,6,7,8,9\}$，若对于三角形$ABC$的内心，存在实数$\lambda$，使得

$$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\lambda\overrightarrow{IB},$$ 则这样的三角形共有________个．

6、已知实数$x,y$满足$3x^2+2y^2=6x$，则$2x^2+3y^2-4x-6y$的取值范围是________．

7、设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$1,2,\cdots,n$的一个排列，把排在$a_i$的左边且比$a_i$小的数的个数称为$a_i$的顺序数（$i=1,2,\cdots,n$）．例如，在排列$6,4,5,3,1,2$中$5$的顺序数为$1$．那么在$1,2,3,4,5,6,7,8$这$8$个数构成的排列中，$8$的顺序数为$2$，$7$的顺序数为$3$，$5$的顺序数为$3$的不同排列数有________．

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参考答案

1、$3$

2、$-\dfrac{8\sqrt 3}{13}$

提示：$P$点在底面上的投影到$A'C'$和$A'B'$的距离相等

3、$\dfrac 12n^2-\dfrac 12n+1$

提示：当$x\in [k,k+1)$，其中$k\in\mathcal N^*$时，$k^2\leqslant x[x]<k(k+1)$，其中包含$k$个整数．

4、$2-\sqrt 3$

提示：将三角形的边用切点分成各自相等的线段，注意利用椭圆的定义．

5、$30$

提示：所求三角形为以$AC$为底的等腰三角形．

6、$\left[\dfrac 52-3\sqrt 6,\dfrac 52+3\sqrt 6\right]$

提示：将$x^2-2x$作为总体进行代换，注意取值范围．

7、$144$

提示：$8$一定在第三位，$7$一定在第五位，接下来考虑$6$的位置即可．