练习题[27] 来几个题目先精选（一）

题目精选自高中数学吧  来几个题目先．

1、（269楼问题）设$m$和$n$是两条异面直线，过直线$m$上等距三点$A$、$B$、$C$作直线$n$的垂线，垂足分别为$A'$、$B'$、$C'$，若$AA'=\sqrt{15}$，$BB'=\dfrac 72$，$CC'=\sqrt{10}$，则直线$m$与$n$的距离为_______．

2、（270楼问题）已知$A$、$B$、$C$为任意实数，则$\sin^2A\cos^2B+\sin^2B\cos^2C+\sin^2C\cos^2A$的最大值为_______．

3、（282楼问题）已知$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a\right|=1$，$\langle \overrightarrow b,\overrightarrow b-\overrightarrow a\rangle =120^\circ$，则$\left|\overrightarrow b\right|^2-\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right)^2$的最大值为_______．

4、（282楼问题）解不等式：$x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^6-2x^4-1\leqslant 0$．

5、（290楼问题）已知变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+2y-3\leqslant 0,\\x+3y-3\geqslant 0,\\y-1\leqslant 0.\end{cases}$若目标函数$z=ax+by$（$a\neq 0$）取得最大值时的最优解有无数多组，求点$(a,b)$的轨迹．

6 、（238楼问题）$P,Q$是两个定点，点$M$为平面内的动点，且$\dfrac{MP}{MQ}=\lambda$（$\lambda >0\land \lambda \neq 0$）．点$M$的轨迹围成的平面区域的面积为$S(\lambda)$，判断$S(\lambda)$的单调性．

7、（251楼问题）已知定义在同一个区间$\left(\dfrac{\sqrt 3}3,\dfrac{\sqrt 6}2\right)$的两个函数$f(x)=x^2-2a\ln x$，$g(x)=x^3-bx^2+x$在$x=x_0$处的切线均平行于$x$轴．

（1）求实数$a$与实数$b$的取值范围；

（2）试问：是否存在实数$x_1,x_2$，当$x_1,x_0,x_2$成等比数列时，等式$f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=2g\left(x_0\right)$成立？若成立，求出实数$a$的取值范围；若不存在，请说明理由．

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参考答案

1、$\sqrt 6$

2、$1$

提示    记$a=\sin^2A$，$b=\sin^2 B$，$C=\sin^2C$，则原式为$\sum\limits_{cyc}a(1-b)$，该式对$a,b,c$而言均为一次函数，于是最大值点在边界处取得．事实上，当$(a,b,c)=(0,0,1),(0,1,1)$时原式取得最大值为$1$．

3、$\dfrac 34$

提示    如图，$OA=1$，优弧$OA$所对的圆周角为$120^\circ$，$B$在劣弧$OA$上运动，欲求几何量为$B$到$OA$距离的平方．

4、$\left[-\sqrt{\dfrac{\sqrt 5-1}{2}},\sqrt{\dfrac{\sqrt 5-1}{2}}\right]$

提示    原不等式即

$$\left(x^2+1\right)^3+2x^2\leqslant \left(\dfrac{1}{x^2}\right)^3+2\cdot\dfrac{2}{x^2},$$ 即 $$x^2+1\leqslant \dfrac 1{x^2}.$$

5、如图，注意去掉原点．

6、$S(\lambda)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减．

提示    $M$的轨迹为圆，且

$$S(\lambda)=\pi a^2\cdot\dfrac{\lambda^2}{\left(1-\lambda^2\right)^2}.$$

7、（1）$a$的取值范围是$\left(\dfrac 13,\dfrac 32\right)$，$b$的取值范围是$\left(\sqrt 3,\dfrac{11\sqrt 6}{12}\right)$．（2）不存在．

提示    （2）由（1）可得

$$a=x_0^2,b=\dfrac 12\left(3\sqrt a+\dfrac{1}{\sqrt a}\right),$$ 于是 $$\begin{split}f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)&=\left(x_1-x_2\right)^2-2a\ln a+2a,\\2g\left(x_0\right)&=-a\sqrt a+\sqrt a,\end{split}$$ 构造函数 $$h(a)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)-2g\left(x_0\right),$$ 该函数为单调递增函数，且$h\left(\dfrac 13\right)>0$，于是不存在符合题意的$a$．