练习题[26] 提高练习

1、函数$f(x)=\left|7x-\sqrt{4x^2-9}\right|$的最小值为_______．

2、若$\tan x=2\tan\dfrac{\pi}{5}$，则$\dfrac{\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{10}\right)}{\sin\left(x-\dfrac{\pi}{5}\right)}=$_______．

3、已知等腰直角三角形$ABC$中，$AC=BC=4$，$D$为$AC$的中点，点$P$、$Q$是斜边$AB$上的动点，且$PQ=2\sqrt 2$．当$P$、$Q$在边$AB$上运动时，四边形$PQCD$周长的最小值是_______．

4、抛物线$y^2=2x$的内接三角形$ABC$的三条边所在直线与抛物线$x^2=2y$均相切，设$A$、$B$两点的纵坐标分别为$a$、$b$，则$C$点的纵坐标为________．（用$a$、$b$表示）

5、已知圆$O:x^2+y^2=r^2(r>0)$和圆$C:(x-4)^2+(y+3)^2=18$，对于圆$O$上任意一点$P$，圆$C$上均存在两点$A$、$B$，使得$\angle APB$为钝角，则$r$的取值范围是_______．

6、四边形$ABCD$中，$\angle ABC=\angle ACB=45^\circ$，$\angle ADC=75^\circ$，$AD=5\sqrt 2$，$CD=6$，则$BD$的长为_______．

7、已知$a,b,c>0$，求证：$(a+b)^2+(a+b+4c)^2\geqslant \dfrac{100abc}{a+b+c}$．

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参考答案

1、$\dfrac{9\sqrt 5}2$    提示    令$x=\dfrac{3}{2\cos\theta}$．

2、$3$

3、$2+2\sqrt 2+2\sqrt 5$    提示    如图．

4、$-a-b$

5、$(0,1)$    提示    对圆$C$张角为钝角的圆的轨迹是一个圆环（不包含边界）．

6、$2\sqrt{19}$    提示    如图．

7、证明    由于

$$\begin{split}(a+b)^2+(a+b+4c)^2&\geqslant \left(2\sqrt{ab}\right)^2+\left(2\sqrt{(a+b)\cdot 4c}\right)^2\\&=4ab+16bc+16ca,\end{split}$$ 而根据柯西不等式，有 $$\left(4ab+16bc+16ca\right)\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\geqslant (2+4+4)^2=100,$$ 因此原不等式得证．