练习题[21] 基础练习

1、若双曲线$M$上存在四个点$A$、$B$、$C$、$D$，使得四边形$ABCD$是正方形，则双曲线$M$的离心率的取值范围是________．

2、以$C$为钝角的三角形$ABC$中，$BC=3$，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=12$，当角$A$最大时，三角形$ABC$的面积为_______．

3、设函数$f(x)$在$\mathcal R$上存在导函数$f'(x)$．对任意实数$x$，均有$f(-x)+f(x)=x^2$，且当$x\in (0,+\infty)$，$f'(x)>x$．若有$f(1-a)-f(a)\geqslant \dfrac 12-a$，则实数$a$的取值范围是________．

4、若$a>1$，函数$f(x)=a^x-x^2$有三个不同的零点，则实数$a$的取值范围是_______．

5、已知函数$f(x)=\left|x^3-4x\right|+ax-2$恰有$2$个零点，则实数$a$的取值范围为_______．

6、已知$\forall x\in (0,1),{\mathrm e}^x+ax-1\geqslant x^2$，则$a$的取值范围是_______．

7、求证：函数$f(x)={\mathrm e}^x-ax+a$的两个零点$x_1$、$x_2$满足$x_1x_2<x_1+x_2$．

参考答案

1、$\left(\sqrt 2,+\infty\right)$

2、$3$．

提示：利用平面向量数量积的几何意义、“等张角线”、切割线定理，如图．

3、$\left(-\infty,\dfrac 12\right]$

提示：构造函数$g(x)=f(x)-\dfrac 12x^2$，则函数$g(x)$是$\mathcal R$上单调递增的奇函数，且$g(1-a)\geqslant g(a)$．

4、$\left(1,{\mathrm e}^{\frac{2}{\mathrm e}}\right)$．

提示：可以分离变量转化为$\ln a=\dfrac{2\ln x}{x}$在$x>0$时有两个解．

5、$\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$

6、$\left[2-\mathrm e,\infty\right)$

7、提示：即证明$g(x)={\mathrm e}^{x+1}-ax$的两个零点$x_1$、$x_2$满足$x_1x_2<1$．接下来利用齐次换元就可以证明．