练习题集[97]基础练习

1．若 $\triangle ABC$ 的三个顶点对应的复数为 $z_1,z_2,z_3$，且满足 $\dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=1+2{\rm i}$，求 $\triangle ABC$ 的面积与其最长边的平方之比．

2．已知函数 $f(x)=\dfrac{2}{1+2^x}+\dfrac{1}{1+4^x}$ 满足条件 $f\left({\log_a}\left(\sqrt 2+1\right)\right)=1$，其中 $a>1$，则 $f\left({\log_a}\left(\sqrt 2-1\right)\right)$ 的值为______．

3．由数字 $1,2,3,4,5,6,7$ 组成的无重复数字的七位正整数，其中首位是 $1$ 且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于 $2$ 的正整数的个数为_________．

4．已知 $|x|\leqslant 1$，$|y|\leqslant 1$，则 $\left|x^2-xy-y^2\right|$ 的取值范围是_______．

5．设

$$\begin{aligned}a&=a(x)=1+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^6}{6!}+\cdots,\\b&=b(x)=\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^7}{7!}+\cdots,\\c&=c(x)=\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^8}{8!}+\cdots,\end{aligned}$$ 则 $a^3+b^3+c^3-3abc=$______．

6．已知 $f(x)=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)$，$g(x)=f(x)-\dfrac 13$，$x_1,x_2$ 是函数 $g(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的零点，则 $\cos\left(x_1-x_2\right)$ 的值为_______．

7．已知 $a>0$ 且 $a\ne 2$，求证：$\dfrac{(a-2)n\cdot a^n}{a^n-2^n}\leqslant \dfrac{a^{n+1}}{2^{n+1}}+1$．

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参考答案

1．$\dfrac 15$．

根据题意，$\overrightarrow {AC}$ 逆时针旋转 $\arctan 2$ 角且长度变为原来的 $\sqrt 5$ 倍后得到 $\overrightarrow {AB}$．不妨设 $AC=1$，则 $AB=\sqrt 5$，根据余弦定理

$$\begin{split}BC&=\sqrt{AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos\angle BAC}\\&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt 5\right)^2-2\cdot 1\cdot \sqrt 5\cdot \cos\arctan 2}\\&=2,\end{split}$$ 因此所求比值为 $\dfrac 15$．

2．$2$．

根据题意，函数 $f(x)$ 的对称中心为 $\left(0,f(0)\right)$，即 $\left(0,\dfrac 32\right)$．又

$${\log_a}\left(\sqrt 2+1\right)+{\log_a}\left(\sqrt 2-1\right)=0,$$ 于是 $$f\left({\log_a}\left(\sqrt 2+1\right)\right)+f\left({\log_a}\left(\sqrt 2-1\right)\right)=\dfrac 32\cdot 2,$$ 因此 $$f\left({\log_a}\left(\sqrt 2-1\right)\right)=2.$$

注　函数 $y=\dfrac{1-a^x}{1+a^x}$ 是常见的奇函数，这个结论的直接推论为函数 $f(x)=\dfrac{m}{1+a^x}$ 关于点 $\left(0,\dfrac m2\right)$ 对称．

3．$14$．

用枚举法，满足条件的正整数有

$$\begin{split}&1234567,1234576,1234675,1234657,1235467,\\&1235764,1243567,1243576,1246753,1324567,\\&1324576,1324657,1324675,1357642,\end{split}$$ 共计 $14$ 个．

4． $\left[0,\dfrac 54\right]$．

根据题意，有

$$x^2-xy-y^2=\left(x-\dfrac 12y\right)^2-\dfrac 54y^2\geqslant -\dfrac{5y^2}4\geqslant -\dfrac 54,$$ 且 $$x^2-xy-y^2= -\left(y+\dfrac 12x\right)^2+\dfrac 54x^2\leqslant \dfrac 54x^2\leqslant \dfrac 54,$$ 第一个不等式的等号当 $(x,y)=\left(\dfrac 12,1\right)$ 或 $(x,y)=\left(-\dfrac 12,-1\right)$ 时取得；第二个不等式的等号当 $(x,y)=\left(1,-\dfrac 12\right)$ 或 $(x,y)=\left(-1,\dfrac 12\right)$ 时取得．
进而可得 $\left|x^2-xy-y^2\right|$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 54\right]$．

5．$1$．

根据题意，有

$$a'(x)=c(x),b'(x)=a(x),c'(x)=b(x),$$ 令 $$f(x)=a^3(x)+b^3(x)+c^3(x)-3a(x)b(x)c(x),$$ 则 $$\begin{split}f'(x)&=3a^2(x)a'(x)+3b^2(x)b'(x)+3c^2(x)c'(x)-3\left[a'(x)b(x)c(x)+a(x)b'(x)c(x)+a(x)b(x)c'(x)\right]\\&=3a^2(x)c(x)+3b^2(x)a(x)+3c^2(x)b(x)-3\left[b(x)c^2(x)+c(x)a^2(x)+a(x)b^2(x)\right]\\&=0,\end{split}$$ 因此 $f(x)$ 是常数函数．

令 $x=0$，可得 $(a,b,c)=(1,0,0)$，于是可得 $f(x)=1$．

6．$\dfrac 13$．

设 $t_1=2x_1-\dfrac{\pi}3$，$t_2=2x_2-\dfrac{\pi}3$，则 $t_1,t_2$ 是关于 $t$ 的方程

$$\sin t=\dfrac 13,$$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}3,\dfrac{5\pi}3\right]$ 上的零点．注意到正弦函数的图象与性质，有 $t_1,t_2$ 关于 $t=\dfrac{\pi}2$ 对称，不妨设 $0<t_1<\dfrac{\pi}2<t_2<\pi$，此时 $$\cos\left(x_1-x_2\right)=\cos\dfrac{t_1-t_2}2=\cos\left(\dfrac{\pi}2-t_1\right)=\sin t_1=\dfrac 13.$$

7．根据题意，欲证不等式即

$$\dfrac{2\left(\dfrac a2-1\right)n\cdot\left(\dfrac a2\right)^n}{\left(\dfrac a2\right)^n-1}\leqslant\left(\dfrac a2\right)^{n+1}+1,$$ 也即 $$\dfrac{2n(x-1)x^n}{x^n-1}\leqslant x^{n+1}+1,$$ 也即 $$\left(1+x^{n+1}\right)\left(1+x+\cdots+x^{n-1}\right)\geqslant 2nx^n,$$ 而根据均值不等式 $$LHS\geqslant 2\cdot x^{\frac {n+1}2}\cdot n\cdot x^{\frac{n-1}2}=RHS,$$ 于是原命题得证．