1.已知E,F是双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点,F也是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且两条曲线交于不同的两点A,B,若5|AF|=4|BE|,则双曲线的离心率为_______.
2.在斜△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,tanCtanA+tanCtanB=1,则a2+b2c2=________.
3.将棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1切去四个三棱锥A−A1BD,B−B1AC,C−C1BD,D−D1AC,则剩余部分的体积为_______.
4.已知函数f(x)=√3lnx(x⩾),若将其图象绕原点逆时针旋转\theta(\theta为锐角)后,所得的图象仍然是某个函数的图象,则\tan\theta的最大值为_______.
5.设f(x),g(x)是定义在[0,1]上的函数,求证:存在x,y\in [0,1],使\left|xy-f(x)-g(y)\right|\geqslant \dfrac 14.
6.已知抛物线y^2=2x与圆(x-a)^2+y^2=4,讨论两条曲线的公共点个数.
7.已知n是不小于2的正整数,求证:\displaystyle \sum_{k=2}^n\ln\dfrac{k-1}{k+1}>\dfrac{2-n-n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}.
参考答案
1.4+\sqrt 7.
2.3.
化切为弦,然后依次应用正弦定理和余弦定理.
3.4.
注意到每两个三棱锥的公共部分都是一个体积为\dfrac 13的小三棱锥,利用容斥原理.
4.\dfrac{\sqrt 3}3.
注意将旋转图象转化为旋转坐标轴.问题转化成将坐标轴绕着原点顺时针旋转,使得原来的函数图象在新的坐标系中仍然是某个函数的图象,所以将y轴转到与点(1,0)处的切线平行的位置时,对应最大的旋转角度.
5.用反证法,取(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),然后四式相加应用绝对值不等式即推出矛盾.
6.当a<-2或a>\dfrac 52时,0个公共点;
当a=-2时,1个公共点;
当-2<a<2或a=\dfrac 52时,2个公共点;
当a=2时,3个公共点;
当2<a<\dfrac 52时,4个公共点.
7.由于当0<x<1时,\ln x>\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x},于是LHS=\ln\dfrac{2}{n(n+1)}>\sqrt{\dfrac{2}{n(n+1)}}-\sqrt{\dfrac{n(n+1)}2}=RHS,于是原命题成立.
第7题的LHS打成LSH了……