1.已知E,F是双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点,F也是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且两条曲线交于不同的两点A,B,若5|AF|=4|BE|,则双曲线的离心率为_______.
2.在斜△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,tanCtanA+tanCtanB=1,则a2+b2c2=________.
3.将棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1切去四个三棱锥A−A1BD,B−B1AC,C−C1BD,D−D1AC,则剩余部分的体积为_______.
4.已知函数f(x)=√3lnx(x⩾1),若将其图象绕原点逆时针旋转θ(θ为锐角)后,所得的图象仍然是某个函数的图象,则tanθ的最大值为_______.
5.设f(x),g(x)是定义在[0,1]上的函数,求证:存在x,y∈[0,1],使|xy−f(x)−g(y)|⩾14.
6.已知抛物线y2=2x与圆(x−a)2+y2=4,讨论两条曲线的公共点个数.
7.已知n是不小于2的正整数,求证:n∑k=2lnk−1k+1>2−n−n2√2n(n+1).
参考答案
1.4+√7.
2.3.
化切为弦,然后依次应用正弦定理和余弦定理.
3.4.
注意到每两个三棱锥的公共部分都是一个体积为13的小三棱锥,利用容斥原理.
4.√33.
注意将旋转图象转化为旋转坐标轴.问题转化成将坐标轴绕着原点顺时针旋转,使得原来的函数图象在新的坐标系中仍然是某个函数的图象,所以将y轴转到与点(1,0)处的切线平行的位置时,对应最大的旋转角度.
5.用反证法,取(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),然后四式相加应用绝对值不等式即推出矛盾.
6.当a<−2或a>52时,0个公共点;
当a=−2时,1个公共点;
当−2<a<2或a=52时,2个公共点;
当a=2时,3个公共点;
当2<a<52时,4个公共点.
7.由于当0<x<1时,lnx>√x−1√x,于是LHS=ln2n(n+1)>√2n(n+1)−√n(n+1)2=RHS,于是原命题成立.
第7题的LHS打成LSH了……