练习题集[89]基础练习

1．已知$E,F$是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($b>a>0$)的左、右焦点，$F$也是抛物线$y^2=2px$($p>0$)的焦点，且两条曲线交于不同的两点$A,B$，若$5|AF|=4|BE|$，则双曲线的离心率为_______．

2．在斜$\triangle ABC$中，$a,b,c$分别是角$A,B,C$所对的边，$\dfrac{\tan C}{\tan A}+\dfrac{\tan C}{\tan B}=1$，则$\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=$________．

3．将棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$切去四个三棱锥$A-A_1BD$，$B-B_1AC$，$C-C_1BD$，$D-D_1AC$，则剩余部分的体积为_______．

4．已知函数$f(x)=\sqrt 3\ln x$($x\geqslant 1$)，若将其图象绕原点逆时针旋转$\theta$($\theta$为锐角)后，所得的图象仍然是某个函数的图象，则$\tan\theta$的最大值为_______．

5．设$f(x),g(x)$是定义在$[0,1]$上的函数，求证：存在$x,y\in [0,1]$，使$\left|xy-f(x)-g(y)\right|\geqslant \dfrac 14$．

6．已知抛物线$y^2=2x$与圆$(x-a)^2+y^2=4$，讨论两条曲线的公共点个数．

7．已知$n$是不小于$2$的正整数，求证：$\displaystyle \sum_{k=2}^n\ln\dfrac{k-1}{k+1}>\dfrac{2-n-n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}$．

参考答案

1．$4+\sqrt 7$．

2．$3$．

化切为弦，然后依次应用正弦定理和余弦定理．

3．$4$．

注意到每两个三棱锥的公共部分都是一个体积为$\dfrac 13$的小三棱锥，利用容斥原理．

4．$\dfrac{\sqrt 3}3$．

注意将旋转图象转化为旋转坐标轴．问题转化成将坐标轴绕着原点顺时针旋转，使得原来的函数图象在新的坐标系中仍然是某个函数的图象，所以将$y$轴转到与点$(1,0)$处的切线平行的位置时，对应最大的旋转角度．

5．用反证法，取$(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$，然后四式相加应用绝对值不等式即推出矛盾．

6．当$a<-2$或$a>\dfrac 52$时，$0$个公共点；
当$a=-2$时，$1$个公共点；
当$-2<a<2$或$a=\dfrac 52$时，$2$个公共点；
当$a=2$时，$3$个公共点；
当$2<a<\dfrac 52$时，$4$个公共点．

7．由于当$0<x<1$时，$\ln x>\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}$，于是$$LHS=\ln\dfrac{2}{n(n+1)}>\sqrt{\dfrac{2}{n(n+1)}}-\sqrt{\dfrac{n(n+1)}2}=RHS,$$于是原命题成立．