练习题集[71]基础练习

1.已知f(x)是四次多项式,且满足f(k)=1k,其中k=1,2,3,4,5,求f(6)的值.

2.在任意梯形中,一条与上下底均有交点的直线将梯形分割为面积相等的两个部分,求证:这条直线过定点.

3.(2013年北京市朝阳区二模)点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PAPC1的取值范围是______.

4.已知ABC内一点D满足BAD=BCD,且BDC=90.已知AB=5BC=6MAC中点,求DM屏幕快照 2016-08-30 上午11.45.185.桌上放着一堆共计40枚棋子,甲乙两人轮流进行操作,每次操作均需要把所有棋子数大于1的堆分成两个较小的堆,规定谁能率先把所有棋子分成40堆谁就获胜.如果甲先操作,是否有必胜策略?如果有,请给出必胜策略;如果没有,请说明理由.

6.已知n,kN,求证:nk+1k+1<1k+2k++nk<(1+1n)knk+1k+1.

7.已知a,b,c>0,求证:a3a2ab+b2+b3b2bc+c2+c3c2ca+a2<54(a+b+c)


 

参考答案

1.根据题意,x=1,2,3,4,5是关于x的五次方程xf(x)1=0的根,因此xf(x)1=(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)5!,进而6f(6)1=1,从而f(6)=13

2.如图,设A(a,0),B(b,0),C(c,h),D(d,h),E(e,0),F(f,h)a
屏幕快照 2016-08-30 上午11.43.36根据题意,梯形AEFD和梯形CFEB的面积相等,因此e+f=\dfrac 12(a+b+c+d),而直线EF的方程为y=\dfrac{h}{f-e}(x-e),y=\dfrac{h}{\dfrac 12(a+b+c+d)-2e}(x-e),因此直线E恒过定点\left(\dfrac{a+b+c+d}4,\dfrac h2\right)

4.根据极化恒等式,有\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PC_1}=|OP|^2-\dfrac 14|AC_1|^2=|OP|^2-\dfrac 34,其中O为正方体的中心.因此所求的取值范围是\left[-\dfrac 12,0\right]

5.作\triangle BDC的外接圆,并将\triangle BDC连同外接圆一起关于BD对称,设C的对应点为C'
屏幕快照 2016-08-30 上午11.45.24由于\angle BAD=\angle BCD,于是A点对称圆上且DCC'的中点.于是DM=\dfrac 12AC'=\dfrac 12\sqrt{BC'^2-AB^2}=\dfrac 12\sqrt{BC^2-AB^2}=\dfrac {\sqrt {11}}2.6.考虑操作后留给对方的包含最多棋子的堆.甲要胜利必须拆出3,要拆出3就需要拆出7,依次类推,需要拆出15,31.因此甲只要先将40分为31+9,这样无论乙如何分割,必然会出现不小于16的堆,此时甲就可以顺利的拿到15\cdots ,最终获得胜利.

6.由于函数f(x)=x^k单调递增,考虑区间[0,1]上的分割0,\dfrac 1n,\dfrac 2n,\cdots ,\dfrac {n-1}n,1,可得\sum_{i=1}^{n}\left[\dfrac 1n\cdot \left(\dfrac{i}{n}\right)^k\right]>\int_0^1x^k{\ \rm d}x=\dfrac{1}{k+1}.而考虑分割\dfrac 1{n+1},\dfrac 2{n+1},\cdots ,\dfrac {n}{n+1},1,可得\sum_{i=1}^{n}\left[\dfrac 1n\cdot \left(\dfrac{i}{n+1}\right)^k\right]<\int_0^1x^k{\ \rm d}x=\dfrac{1}{k+1}.屏幕快照 2016-08-30 上午11.16.187.不妨设a为最大数,则\begin{split}\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}=&a+\dfrac{ab(a-b)}{a^2-ab+b^2}\\<&a+\dfrac{ab(a-b)(a+b)}{a^3+b^3}\\\leqslant&a+\dfrac{a(a+b)}{a^3+b^3}\cdot\left(\dfrac{b+a-b}{2}\right)^2\\=&a+\dfrac{a+b}{4}\cdot\dfrac{a^3}{a^3+b^3}<\dfrac{5a+b}4,\end{split}\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac{b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}=b+c,于是\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac{5a+b}4+b+c<\dfrac 54(a+b+c).

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