1.已知f(x)是四次多项式,且满足f(k)=1k,其中k=1,2,3,4,5,求f(6)的值.
2.在任意梯形中,一条与上下底均有交点的直线将梯形分割为面积相等的两个部分,求证:这条直线过定点.
3.(2013年北京市朝阳区二模)点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则→PA⋅→PC1的取值范围是______.
4.已知△ABC内一点D满足∠BAD=∠BCD,且∠BDC=90∘.已知AB=5,BC=6,M为AC中点,求DM.5.桌上放着一堆共计40枚棋子,甲乙两人轮流进行操作,每次操作均需要把所有棋子数大于1的堆分成两个较小的堆,规定谁能率先把所有棋子分成40堆谁就获胜.如果甲先操作,是否有必胜策略?如果有,请给出必胜策略;如果没有,请说明理由.
6.已知n,k∈N∗,求证:nk+1k+1<1k+2k+⋯+nk<(1+1n)k⋅nk+1k+1.
7.已知a,b,c>0,求证:a3a2−ab+b2+b3b2−bc+c2+c3c2−ca+a2<54(a+b+c).
参考答案
1.根据题意,x=1,2,3,4,5是关于x的五次方程xf(x)−1=0的根,因此xf(x)−1=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)5!,进而6f(6)−1=1,从而f(6)=13.
2.如图,设A(a,0),B(b,0),C(c,h),D(d,h),E(e,0),F(f,h)且a⩽.根据题意,梯形AEFD和梯形CFEB的面积相等,因此e+f=\dfrac 12(a+b+c+d),而直线EF的方程为y=\dfrac{h}{f-e}(x-e),即y=\dfrac{h}{\dfrac 12(a+b+c+d)-2e}(x-e),因此直线E恒过定点\left(\dfrac{a+b+c+d}4,\dfrac h2\right).
4.根据极化恒等式,有\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PC_1}=|OP|^2-\dfrac 14|AC_1|^2=|OP|^2-\dfrac 34,其中O为正方体的中心.因此所求的取值范围是\left[-\dfrac 12,0\right].
5.作\triangle BDC的外接圆,并将\triangle BDC连同外接圆一起关于BD对称,设C的对应点为C'.由于\angle BAD=\angle BCD,于是A点对称圆上且D为CC'的中点.于是DM=\dfrac 12AC'=\dfrac 12\sqrt{BC'^2-AB^2}=\dfrac 12\sqrt{BC^2-AB^2}=\dfrac {\sqrt {11}}2.6.考虑操作后留给对方的包含最多棋子的堆.甲要胜利必须拆出3,要拆出3就需要拆出7,依次类推,需要拆出15,31.因此甲只要先将40分为31+9,这样无论乙如何分割,必然会出现不小于16的堆,此时甲就可以顺利的拿到15,\cdots ,最终获得胜利.
6.由于函数f(x)=x^k单调递增,考虑区间[0,1]上的分割0,\dfrac 1n,\dfrac 2n,\cdots ,\dfrac {n-1}n,1,可得\sum_{i=1}^{n}\left[\dfrac 1n\cdot \left(\dfrac{i}{n}\right)^k\right]>\int_0^1x^k{\ \rm d}x=\dfrac{1}{k+1}.而考虑分割\dfrac 1{n+1},\dfrac 2{n+1},\cdots ,\dfrac {n}{n+1},1,可得\sum_{i=1}^{n}\left[\dfrac 1n\cdot \left(\dfrac{i}{n+1}\right)^k\right]<\int_0^1x^k{\ \rm d}x=\dfrac{1}{k+1}.7.不妨设a为最大数,则\begin{split}\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}=&a+\dfrac{ab(a-b)}{a^2-ab+b^2}\\<&a+\dfrac{ab(a-b)(a+b)}{a^3+b^3}\\\leqslant&a+\dfrac{a(a+b)}{a^3+b^3}\cdot\left(\dfrac{b+a-b}{2}\right)^2\\=&a+\dfrac{a+b}{4}\cdot\dfrac{a^3}{a^3+b^3}<\dfrac{5a+b}4,\end{split}而\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac{b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}=b+c,于是\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac{5a+b}4+b+c<\dfrac 54(a+b+c).