练习题集[71]基础练习

1.已知f(x)是四次多项式,且满足f(k)=1k,其中k=1,2,3,4,5,求f(6)的值.

2.在任意梯形中,一条与上下底均有交点的直线将梯形分割为面积相等的两个部分,求证:这条直线过定点.

3.(2013年北京市朝阳区二模)点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PAPC1的取值范围是______.

4.已知ABC内一点D满足BAD=BCD,且BDC=90.已知AB=5BC=6MAC中点,求DM屏幕快照 2016-08-30 上午11.45.185.桌上放着一堆共计40枚棋子,甲乙两人轮流进行操作,每次操作均需要把所有棋子数大于1的堆分成两个较小的堆,规定谁能率先把所有棋子分成40堆谁就获胜.如果甲先操作,是否有必胜策略?如果有,请给出必胜策略;如果没有,请说明理由.

6.已知n,kN,求证:nk+1k+1<1k+2k++nk<(1+1n)knk+1k+1.

7.已知a,b,c>0,求证:a3a2ab+b2+b3b2bc+c2+c3c2ca+a2<54(a+b+c)


 

参考答案

1.根据题意,x=1,2,3,4,5是关于x的五次方程xf(x)1=0的根,因此xf(x)1=(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)5!,

进而6f(6)1=1,从而f(6)=13

2.如图,设A(a,0),B(b,0),C(c,h),D(d,h),E(e,0),F(f,h)aeb,dfc
屏幕快照 2016-08-30 上午11.43.36根据题意,梯形AEFD和梯形CFEB的面积相等,因此e+f=12(a+b+c+d),

而直线EF的方程为y=hfe(xe),
y=h12(a+b+c+d)2e(xe),
因此直线E恒过定点(a+b+c+d4,h2)

4.根据极化恒等式,有PAPC1=|OP|214|AC1|2=|OP|234,

其中O为正方体的中心.因此所求的取值范围是[12,0]

5.作BDC的外接圆,并将BDC连同外接圆一起关于BD对称,设C的对应点为C
屏幕快照 2016-08-30 上午11.45.24由于BAD=BCD,于是A点对称圆上且DCC的中点.于是DM=12AC=12BC2AB2=12BC2AB2=112.

6.考虑操作后留给对方的包含最多棋子的堆.甲要胜利必须拆出3,要拆出3就需要拆出7,依次类推,需要拆出15,31.因此甲只要先将40分为31+9,这样无论乙如何分割,必然会出现不小于16的堆,此时甲就可以顺利的拿到15,最终获得胜利.

6.由于函数f(x)=xk单调递增,考虑区间[0,1]上的分割0,1n,2n,,n1n,1,

可得ni=1[1n(in)k]>10xk dx=1k+1.
而考虑分割1n+1,2n+1,,nn+1,1,
可得ni=1[1n(in+1)k]<10xk dx=1k+1.
屏幕快照 2016-08-30 上午11.16.187.不妨设a为最大数,则a3a2ab+b2=a+ab(ab)a2ab+b2<a+ab(ab)(a+b)a3+b3a+a(a+b)a3+b3(b+ab2)2=a+a+b4a3a3+b3<5a+b4,
b3b2bc+c2+c3c2ca+a2<b3+c3b2bc+c2=b+c,
于是a3a2ab+b2+b3b2bc+c2+c3c2ca+a2<5a+b4+b+c<54(a+b+c).

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