1.已知f(x)是四次多项式,且满足f(k)=1k,其中k=1,2,3,4,5,求f(6)的值.
2.在任意梯形中,一条与上下底均有交点的直线将梯形分割为面积相等的两个部分,求证:这条直线过定点.
3.(2013年北京市朝阳区二模)点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则→PA⋅→PC1的取值范围是______.
4.已知△ABC内一点D满足∠BAD=∠BCD,且∠BDC=90∘.已知AB=5,BC=6,M为AC中点,求DM.5.桌上放着一堆共计40枚棋子,甲乙两人轮流进行操作,每次操作均需要把所有棋子数大于1的堆分成两个较小的堆,规定谁能率先把所有棋子分成40堆谁就获胜.如果甲先操作,是否有必胜策略?如果有,请给出必胜策略;如果没有,请说明理由.
6.已知n,k∈N∗,求证:nk+1k+1<1k+2k+⋯+nk<(1+1n)k⋅nk+1k+1.
7.已知a,b,c>0,求证:a3a2−ab+b2+b3b2−bc+c2+c3c2−ca+a2<54(a+b+c).
参考答案
1.根据题意,x=1,2,3,4,5是关于x的五次方程xf(x)−1=0的根,因此xf(x)−1=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)5!,
2.如图,设A(a,0),B(b,0),C(c,h),D(d,h),E(e,0),F(f,h)且a⩽e⩽b,d⩽f⩽c.根据题意,梯形AEFD和梯形CFEB的面积相等,因此e+f=12(a+b+c+d),
4.根据极化恒等式,有→PA⋅→PC1=|OP|2−14|AC1|2=|OP|2−34,
5.作△BDC的外接圆,并将△BDC连同外接圆一起关于BD对称,设C的对应点为C′.由于∠BAD=∠BCD,于是A点对称圆上且D为CC′的中点.于是DM=12AC′=12√BC′2−AB2=12√BC2−AB2=√112.
6.由于函数f(x)=xk单调递增,考虑区间[0,1]上的分割0,1n,2n,⋯,n−1n,1,
