练习题集[58]基础练习

1、已知$a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=1$，求证：$a^2+b^2=1$．

2、已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=-1$，$|a_n-a_{n-1}|=2^{n-1}$($n\in\mathcal N,n\geqslant 2)$，且$\{a_{2n-1}\}$是递减数列，$\{a_{2n}\}$是递增数列，则$a_{2016}=$_______．

3、已知$a+b=ab$，$a,b>0$，求证：$\dfrac{a}{b^2+4}+\dfrac{b}{a^2+4}\geqslant \dfrac 12$．

4、已知$x,y\in\mathcal R$，且$4x^2-xy+y^2=25$，则$3x^2+y^2$的取值范围是_______．

5、已知$1<a<b$，$n\in\mathcal N^*$且$n\geqslant 2$，求证：

$$ab^n+a^n+b>ba^n+b^n+a.$$

6、已知$f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}+x^2+2\cos x-mx-2$，存在唯一的实数$x_0$满足$f(f(x_0))=x_0$，则$m$的取值范围是_______．

7、设$0<x<y$，且$x^y=y^x$，求证：$x+y>2{\rm e}$．

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参考答案

1、三角换元或移项平方去根号均可．

2、$\begin{cases} \dfrac 13\left(2^{2016}-4\right)+1,&a_2=1,\\ \dfrac 13\left(2^{2016}-4\right)-3,&a_2=-3.\end{cases}$

3、证法一

$$LHS=\dfrac{a^2}{b(a+b)+4a}+\dfrac{b^2}{a(a+b)+4b}\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{(a+b)^2+4(a+b)}=\dfrac{1}{1+\dfrac{4}{a+b}}\geqslant \dfrac 12.$$

证法二

$$LHS\geqslant \dfrac{a}{b^2+ab}+\dfrac{b}{a^2+ab}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{a^2}\geqslant \dfrac{\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)^2}2=\dfrac 12.$$

4、$\left[\dfrac{50}3,30\right]$．

5、原不等式即

$$(1-b)\cdot a^n+(b^n-1)\cdot a+b-b^n>0,$$ 设 $$\varphi (x)=(1-b)x^n+(b^n-1)x+b-b^n,$$ 则 $$\varphi (1)=\varphi (b)=0,$$ 而 $$\varphi '(x)=n(1-b)\cdot x^{n-1}+b^n-1$$ 是减函数，又 $$\begin{split} &\varphi'(1)=b^n-n(b-1)-1=[1+(b-1)]^n-n(b-1)-1>0,\\&\varphi'(b)=nb^{n-1}-nb^n+b^n-1=(b-1)(b^{n-1}+b^{n-2}+\cdots+1-nb^{n-1})<0,\end{split}$$ 因此$\varphi(x)$在$(1,b)$上先单调递增后单调递减，因此原不等式得证．

6、$(-\infty,1]$

提示    可以先考虑$f(x)=x$．

7、对称化构造函数即可．