1、已知函数$g(x)$的图象与函数$f(x)=|\ln (x+a)|-1$的图象关于原点对称，且$y=f(x)$的图象与$y=g(x)$的图象恰有三个不同的公共点，则实数$a$的值为_______．
2、已知实数$x,y$满足$x^2+y^2=4$，则$(2x-1)^2+(y-1)^2+4xy$的取值范围是_______．
3、直角三角形的三边$a,b,c$满足$3\leqslant a\leqslant 5\leqslant b\leqslant 8\leqslant c\leqslant 9$，则其面积的最大值为_______．
4、已知$(x+\sqrt a)^2+y^2=4$与$(x-2\sqrt b)^2+y^2=1$共有$3$条公切线，则$\dfrac 1a+\dfrac 1b$的最小值为_______．
5、已知非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$满足$5\overrightarrow a=7 \overrightarrow b-2 \overrightarrow c$，$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$，$\langle \overrightarrow a,\overrightarrow a-\overrightarrow b\rangle=\alpha$，$\langle \overrightarrow b,\overrightarrow b-\overrightarrow a\rangle =\beta$，且$2\cos^2\alpha-\cos^2\beta=1$，则$\dfrac{\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c}{|\overrightarrow c|}$的最小值为_______．
6、设$x_1,x_2,\cdots ,x_{2^n}>0$，且$x_1+x_2+\cdots +x_{2^n}=1$，求证：$$x_1{\log_2}x_1+x_2{\log_2}x_2+\cdots +x_{2^n}{\log_2}x_{2^n}\geqslant -n.$$
7、在正方形$A_1B_1C_1D_1$的四个顶点处分别写下四个正整数$a_1,b_1,c_1,d_1$，然后取各边的中点$A_2,B_2,C_2,D_2$，在中点处写下对应端点的差的绝对值，并形成新的正方形$A_2B_2C_2D_2$，类似的递推下去，证明：必然存在四个顶点均为$0$的正方形$A_nB_nC_nD_n$．
参考答案
1、${\rm e}$
提示 必然有$f(0)=0$．
2、$\left[1,22+4\sqrt 5\right]$
提示 原式即$(2x+y-1)^2+1$．
3、$5\sqrt{14}$
4、$\dfrac{(1+\sqrt[3]4)^3}9$
5、$\dfrac 53$．
提示 $\dfrac{\sin \alpha}{\sin\beta}=\dfrac{1}{\sqrt 2}$．
6、利用$y=x\ln x$在$x=\dfrac{1}{2^n}$的切线放缩．
7、考虑最大数$a$．若最大数$a$不为零且不减小，则一定在$0$的旁边，必为$$(a,0,b,c),(a,0,a,b),(a,0,b,a),(a,0,a,a)$$中的一种，前三种情形都会在若干次操作后使得最大数减小，因此一定会出现情形四，命题得证．