练习题集[48]基础练习

1、证明：当$x>0$时，$({\rm e}^x-1)\cdot \ln (1+x)>x^2$．

2、已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$na_{n+1}=(n+1)a_n+n(n+1)$，且$b_n=a_n\cdot\cos\dfrac{2n\pi}3$，则$b_1+b_2+\cdots +b_{120}=$_______．

3、已知函数$f(x)=(x^2+ax+b){\rm e}^x$，当$b<1$时，函数$f(x)$在$(-\infty,-2)$和$(1,+\infty)$上均为增函数，则$\dfrac{a+b}{a-2}$的取值范围是_______．

4、已知不等式$|x-a|+|x-2a|\geqslant a^2-3a-3$的解集为$\mathcal R$，则$a$的取值范围是_______．

5、已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow a-\overrightarrow b$的模均在区间$[2,6]$内，则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围是_______．

6、已知定义在$\mathcal R$上的奇函数周期为$2\pi$，且$f(3)=f(4)=0$，则$f(x)$在区间$[0,10]$上的零点个数的最小值为_______．

7、已知定义在$\mathcal R$上的连续函数$f(x)$满足对任意实数$x,y$均有$f(xy)=xf(y)+yf(x)$．

（1）若$|f(x)|\leqslant 1$，求证：$f(x)=0$；

（2）若$f(2)=2$，求$f(x)$．

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参考答案

1、$LHS>\left(x+\dfrac 12x^2\right)\cdot \dfrac{2x}{x+2}=x^2$．有趣的是，当$x>0$时，$({\rm e}^x-1)\cdot \ln^2(1+x)>x^3$不再恒成立．

2、$7280$

提示    $a_n=n^2$，于是$c_n=b_{3n-2}+b_{3n-1}+b_{3n}=9n-\dfrac 52$，求$\{c_n\}$的前$40$项和即可．

3、$\left(-2,\dfrac 23\right]$

提示    设$m=a-2$，$n=a+b$，则根据已知有$\begin{cases}n<m+3,\\ n\geqslant 2m+4,\\ n\geqslant -m-5,\\ -6\leqslant m\leqslant 0.\end{cases}$

4、$\left[-1,2+\sqrt 7\right]$

5、$[-9,34]$

6、$11$

7、（1）令$x=y$，则有 $$f(x^2)=2xf(x),$$ 于是 $$f(0)=f(1)=f(-1)=0.$$ 若$f(m)\neq 0$，且$m\neq 0,1$，则当$|m|>1$时，有 $$\left|f\left(m^{2^n}\right)\right|=2^n\cdot |m|^{2^n-1}\cdot \left|f(m)\right|,$$ 其中$n$为正整数．当$n\to +\infty$时，与函数$f(x)$是有界函数矛盾．

当$|m|<1$时，考虑到 $$f\left(m\cdot \dfrac 1m\right)=mf\left(\dfrac 1m\right)+\dfrac 1mf(m)=0,$$ 于是$f\left(\dfrac 1m\right)\neq 0$，进而类似可推出矛盾．

综上，命题得证．

（2）不难证明$f(x)$是奇函数．令$x={\rm e}^a$，$y={\rm e}^b$，$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$($x\neq 0$)，则 $$g(xy)=g(x)+g(y),$$ 进而 $$g\left({\rm e}^{a+b}\right)=g\left({\rm e}^a\right)+g\left({\rm e}^b\right),$$ 由柯西方程，可得 $$g\left({\rm e}^x\right)=xg({\rm e}),$$ 进而可得 $$g(x)=g({\rm e})\cdot \ln x,$$ 因此 $$f(x)=\begin{cases} x{\log_2}{|x|},&x\neq 0,\\ 0,&x=0.\end{cases}$$