1、已知f(x)=2xlnx−kx2x−1没有零点,则k的取值范围是_______.
2、已知α,β∈(0,π),有cosα+cosβ−cos(α+β)=32,则α=_______,β=_______.
3、求函数f(x)=x2+|x−a|+1的最小值.
4、设a,b为实数,满足∀x∈R,cos(asinx)>sin(bcosx),求证:a2+b2<π24.
5、求证:(1n)n+(2n)n+⋯+(nn)n<ee−1,其中n为正整数.
6、已知△ABC中,C=120∘,M为AB的中点,且CM=1,AB=2√2.N是边AB(包含端点)上一点,则→CM⋅→CN的取值范围是_______.
7、已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的动弦AB的长为定值2m,求AB中点的轨迹方程.
参考答案
1、(−∞,0]∪{2}.
2、π3,π3.
3、\begin{cases} -a+\dfrac 34,a\leqslant -\dfrac 12,\\ a^2+1, -\dfrac 12<a<\dfrac 12,\\ a+\dfrac 34,a\geqslant \dfrac 12.\end{cases}
4、若a^2+b^2\geqslant \dfrac{\pi^2}4,则必然存在x\in\mathcal R,使得a\sin x+b\cos x=\dfrac{\pi}2,此时有\cos(a\sin x)=\sin (b\cos x),矛盾.
5、提示 注意RHS=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{\rm e}},取无穷递缩等比数列即可.
6、\left[1-\dfrac{\sqrt 5}2,1+\dfrac{\sqrt 5}2\right].
7、\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+m^2\cdot\dfrac{a^2y^2+b^2x^2}{a^4y^2+b^4x^2}=1.