练习题集[46]基础练习

1、已知$f(x)=\dfrac{2x}{\ln x}-\dfrac{kx^2}{x-1}$没有零点，则$k$的取值范围是_______．

2、已知$\alpha,\beta\in (0,\pi)$，有$\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)=\dfrac 32$，则$\alpha=$_______，$\beta=$_______．

3、求函数$f(x)=x^2+|x-a|+1$的最小值．

4、设$a,b$为实数，满足$\forall x\in\mathcal R,\cos(a\sin x)>\sin (b\cos x)$，求证：$a^2+b^2<\dfrac{\pi^2}4$．

5、求证：$\left(\dfrac 1n\right)^n+\left(\dfrac 2n\right)^n+\cdots +\left(\dfrac nn\right)^n<\dfrac{\rm e}{{\rm e}-1}$，其中$n$为正整数．

6、已知$\triangle ABC$中，$C=120^\circ$，$M$为$AB$的中点，且$CM=1$，$AB=2\sqrt 2$．$N$是边$AB$（包含端点）上一点，则$\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{CN}$的取值范围是_______．

7、已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的动弦$AB$的长为定值$2m$，求$AB$中点的轨迹方程．

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参考答案

1、$(-\infty,0]\cup \{2\}$．

2、$\dfrac{\pi}3$，$\dfrac{\pi}3$．

3、$\begin{cases} -a+\dfrac 34,a\leqslant -\dfrac 12,\\ a^2+1, -\dfrac 12<a<\dfrac 12,\\ a+\dfrac 34,a\geqslant \dfrac 12.\end{cases}$

4、若$a^2+b^2\geqslant \dfrac{\pi^2}4$，则必然存在$x\in\mathcal R$，使得

$$a\sin x+b\cos x=\dfrac{\pi}2,$$ 此时有 $$\cos(a\sin x)=\sin (b\cos x),$$ 矛盾．

5、提示    注意$RHS=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{\rm e}}$，取无穷递缩等比数列即可．

6、$\left[1-\dfrac{\sqrt 5}2,1+\dfrac{\sqrt 5}2\right]$．

7、$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+m^2\cdot\dfrac{a^2y^2+b^2x^2}{a^4y^2+b^4x^2}=1$．