练习题集[38]基础练习

1、已知点$A$是抛物线$y=\dfrac 14x^2$的对称轴与准线的交点，点$F$为抛物线的焦点，点$P$在抛物线上，则$\dfrac{|PF|}{|PA|}$的最小值是_______．

2、在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A,B$分别为$x,y$轴上一点，且$AB=2$，若点$P(2,\sqrt 5)$，则$\left|\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}\right|$的取值范围是_______．

3、已知$x>y>z>1$，$\log_2\dfrac xz\cdot\left(\log_{\frac xy}2+\log_{\frac yz}{16}\right)=9$，则$z=$_______．（用$x,y$表示）

4、设定义在$R$上的函数$f(x)=\begin{cases} 2,&x=0,\\ {\log_3}|x|,&x\neq 0,\end{cases}$若关于$x$的方程$f^2(x)+bf(x)+c=0$恰好有$3$个不同的实数解，则$bc=$_______．

5、已知$a,t$为正实数，函数$f(x)=x^2-2x+a$，且对任意的$x\in [0,t]$，都有$f(x)\in [-a,a]$．若对正实数$a$，记$t$的最大值为$g(a)$，则函数$g(a)$的值域为_______．

6、已知$\triangle ABC$中$\cos B=\dfrac 45$，$b=1$，$\sin A=m$．若满足条件的三角形只有一个，则$m$的取值范围是_______．

7、已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$，且当$n\in\mathcal N^*$时，有 $$a_{n+1}+1=a_1a_2\cdots a_n.$$ 若正整数$m$满足 $$a_1a_2\cdots a_m+2016=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_m^2,$$ 则$m=$______．

参考答案

1、$\dfrac{\sqrt 2}2$．

2、$[7,11]$．

3、$\dfrac{y^3}{x^2}$．

提示    条件可以变形为 $$\left(\ln\dfrac xy+\ln\dfrac yz\right)\left(\dfrac{1}{\ln\dfrac xy}+\dfrac{4}{\ln\dfrac yz}\right)=9,$$ 由柯西不等式的取等条件即得．

4、$-16$．

5、$(0,1)\cup\{2\}$．

6、$\left(0,\dfrac 35\right]\cup\{1\}$．

7、$2011$．

提示    $a_n^2=a_{n+1}-a_n+1$．