练习题集[37]基础练习

1、过椭圆$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$上的一点作圆$x^2+y^2=2$的两条切线，点$A,B$为切点，过$A,B$的直线与$x,y$轴分别相交于$P,Q$两点，则$\triangle POQ$的面积的最小值为_______．

2、已知函数$f(x)=\cos^2\omega x\sin \varphi+\sin \omega x\cos \omega x\cos \varphi$($\omega \in \mathcal N^*$且$|\varphi|<\dfrac{\pi}4$)，$f(0)=f\left(\dfrac{\pi}6\right)$．若函数$f(x)$的图象在$\left[0,\dfrac{\pi}6\right]$内有且仅有一条对称轴，但没有对称中心，求所有符合条件的$(\omega ,\varphi)$．

3、已知直角三角形$ABC$的两直角边$AB,AC$的边长分别为方程$x^2-2(1+\sqrt 3)x+4\sqrt 3=0$的两根，且$AB<AC$，斜边$BC$上有异于端点$B,C$的两点$E,F$，且$EF=1$，设$\angle EAF=\theta$，则$\tan\theta$的取值范围为_______．

4、已知向量$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$，$\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=2$，定义$\overrightarrow{c}_{\lambda}=\lambda\overrightarrow{a}+(1-\lambda)\overrightarrow{b}$，其中$0\leqslant \lambda \leqslant 1$．若$\overrightarrow{c}_{\lambda}\cdot \overrightarrow{c}_{\frac 12}=\dfrac 12$，则$\left|\overrightarrow{c}_{\lambda}\right|$的最大值是_______．

5、若实数$x,y$满足

$$2\cos^2(x+y-1)=\dfrac{(x+1)^2+(y-1)^2-2xy}{x-y+1},$$ 则$xy$的最小值为_______．

6、已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=a$($0<a\leqslant 2$)，$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-2,& a_n>2,\\ 3-a_n,&a_n\leqslant 2,\end{cases}$($n\in\mathcal N^*$)，记$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$，若$S_n=2015$，则$n=$_______．

7、已知函数$f(x)=2ax^2+3b$($a,b\in\mathcal R$)，若对于任意$x\in [-1,1]$，都有$|f(x)|\leqslant 1$成立，则$ab$的最大值为_______．

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参考答案与提示

1、$\dfrac 23$．

2、根据题意$x=\dfrac{\pi}{12}$是函数$y=f(x)$的对称轴，于是

$$2\omega\cdot \dfrac{\pi}{12}+\varphi=k\pi+\dfrac{\pi}2,k\in\mathcal Z,$$ 又函数$f(x)$的图象在区间$\left[0,\dfrac{\pi}6\right]$内没有对称中心，因此该区间长度不超过函数$f(x)$的半周期，因此 $$\dfrac{\pi}6<\dfrac{\pi}{2\omega},$$ 从而$\omega <3$，进而不难得到$k=0$．因此符合条件的$(\omega,\varphi)$为$\left(2,\dfrac{\pi}6\right)$．

3、$\left(\dfrac{\sqrt 3}9,\dfrac{4\sqrt 3}{11}\right]$．

4、$1$．

5、$\dfrac 14$．

提示    条件可以变形为

$$\cos{2(x+y-1)}=(x-y+1)+\dfrac{1}{x-y+1}-1,$$ 于是$x=y$且$\cos{2(2x-1)}=1$，于是$xy$的最小值为$\left(\dfrac 12\right)^2=\dfrac 14$．

6、$1343$．

提示    $a_{2k-1}+a_{2k}=3$，$k=1,2,\cdots$．

7、$\dfrac {1}{24}$．

提示    $\sqrt{2a\cdot 3b}\leqslant \dfrac{2a+3b}2=\dfrac {f(1)}2\leqslant \dfrac 12$．