1、已知z1,z2∈C∗,|z1+z2|=|z1−z2|.求证:z21z22<0.
2、设n∈N∗,试判断是否存在a∈R,使√2n+1⋅n∏k=1(1−12k)<a恒成立?请说明理由.
3、已知m,n∈R,求证:em+n2<em−enm−n<em+en2.
4、已知数列{an}的通项公式为an=3⋅2n4⋅4n−6⋅2n+2,求证:n∑k=1ak<32.
5、已知离心率为√32的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x=2相交于P、Q两点(点P在x轴上方),且PQ=2.点A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点,且∠APQ=∠BPQ.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求四边形APBQ面积的取值范围.
6、已知函数f(x)=(x−x1)(x−x2)(x−x3),x1,x2,x3∈R,且x1<x2<x3.
(1)当x1=0,x2=1,x3=2时,若方程f(x)=mx恰存在两个相等的实根,求实数m的值;
(2)求证:方程f′(x)=0有两个不相等的实数根;
(3)若方程f′(x)=0的两个实数根是α,β(α<β),试比较x1+x22与α,β的大小关系,并说明理由.
7、已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2−ax(a为常数,且a>0).
(1)若x=12是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)求证:当0<a⩽2时,f(x)在[12,+∞)上是增函数;
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x0∈[12,1],使不等式f(x0)>m(1−a2)成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1、提示:利用共轭复数.
2、a>√32. 提示:注意不等式左边单调递减.
3、提示:作换元em=x,en=y,整理后再作换元t=xy.
4、提示:裂项求和即得.
5、(1)C:x28+y22=1;(2)(0,4].
提示:可以利用仿射变换,将椭圆变为圆.
6、(1)m=−14∨m=2;(2)略;(3)α<x1+x22<β.
7、(1)a=2;(2)略;(3)[14,+∞).
提示:(3)可以使用端点分析法.
第一题,请问怎么用共轭复数?我的做法是把Z1,Z2都设出来,但计算略显繁琐
第五题第二小问,右边可以是闭区间吗?我算出来取4时似乎P,B两点重合
第5题和第七题,能不能写写过程,我不太会