练习题[13] 解答题提高练习

1、已知$z_1,z_2\in\mathcal C^*$，$\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|$．求证：$\dfrac{z_1^2}{z_2^2}<0$．

2、设$n\in\mathcal N^*$,试判断是否存在$a\in\mathcal R$，使

$$\sqrt{2n+1}\cdot\prod_{k=1}^{n}{\left(1-\dfrac{1}{2k}\right)}<a$$ 恒成立？请说明理由．

3、已知$m,n\in\mathcal R$，求证：

$${\rm e}^\frac{m+n}2<\dfrac{{\rm e}^m-{\rm e}^n}{m-n}<\dfrac{{\rm e}^m+{\rm e}^n}2.$$

4、已知数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式为

$$a_n=\dfrac{3\cdot 2^n}{4\cdot 4^n-6\cdot 2^n+2},$$ 求证：$\sum\limits_{k=1}^na_k<\dfrac 32$．

5、已知离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$的椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与直线$x=2$相交于$P$、$Q$两点（点$P$在$x$轴上方），且$PQ=2$．点$A$、$B$是椭圆上位于直线$PQ$两侧的两个动点，且$\angle APQ=\angle BPQ$． 

（1）求椭圆$C$的标准方程；

（2）求四边形$APBQ$面积的取值范围．

6、已知函数$f(x)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$，$x_1,x_2,x_3\in\mathcal R$，且$x_1<x_2<x_3$．

（1）当$x_1=0$，$x_2=1$，$x_3=2$时，若方程$f(x)=mx$恰存在两个相等的实根，求实数$m$的值；

（2）求证：方程$f'(x)=0$有两个不相等的实数根；

（3）若方程$f'(x)=0$的两个实数根是$\alpha$，$\beta$（$\alpha<\beta$），试比较$\dfrac{x_1+x_2}2$与$\alpha$，$\beta$的大小关系，并说明理由．

7、已知函数$f(x)=\ln{\left(\dfrac 12+\dfrac 12ax\right)}+x^2-ax$（$a$为常数，且$a>0$）．

（1）若$x=\dfrac 12$是函数$f(x)$的一个极值点，求$a$的值；

（2）求证：当$0<a\leqslant 2$时，$f(x)$在$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$上是增函数；

（3）若对任意的$a\in (1,2)$，总存在$x_0\in\left[\dfrac 12,1\right]$，使不等式$f(x_0)>m\left(1-a^2\right)$成立，求实数$m$的取值范围．

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 参考答案

1、提示：利用共轭复数．

2、$a>\dfrac{\sqrt 3}{2}$．    提示：注意不等式左边单调递减．

3、提示：作换元${\rm e}^m=x$，${\rm e}^n=y$，整理后再作换元$t=\dfrac xy$．

4、提示：裂项求和即得．

5、（1）$C:\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}2=1$；（2）$\left(0,4\right]$．

提示：可以利用仿射变换，将椭圆变为圆．

6、（1）$m=-\dfrac 14\lor m=2$；（2）略；（3）$\alpha<\dfrac{x_1+x_2}2<\beta$．

7、（1）$a=2$；（2）略；（3）$\left[\dfrac 14,+\infty\right)$．

提示：（3）可以使用端点分析法．