练习题[9] 组合数学训练题（规律探索）

1、（2015年北京市东城区高三期末理科）

对于数列$A:a_1,a_2,a_3$（$a_i\in\mathcal N,i=1,2,3$），定义$T$变换：$T$将数列$A$变换成数列$B:b_1,b_2,b_3$，其中$b_i=\left|a_i-a_{i+1}\right|$（$i=1,2$），且$b_3=\left|a_3-a_1\right|$．继续对数列$B$进行$T$变换，得到数列$C:c_1,c_2,c_3$，依次类推，当得到的数列各项均为$0$时变换结束．

（1）试问数列$A:2,6,4$经过不断的$T$变换能否结束？若能，请依次写出经过$T$变换得到的各数列；若不能，请说明理由．

（2）设数列$A:a_1,a_2,a_3$，对数列$A$进行$T$变换，得到数列$B:b,2,a$（$a\geqslant b$），若数列$B$的各项之和为$2014$，求$a,b$的值；

（3）在（2）的条件下，若数列$B$再经过$k$次$T$变换得到的数列各项之和最小，求$k$的最小值，并说明理由．

 2、数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=a$，$a\in\mathcal N^*$， $$a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac 13a_n,&3|a_n,\\a_n+1,&3\nmid a_n.\end{cases}$$ 集合$A=\left\{x\left|\right. x=a_n,n\in\mathcal N^*\right\}$．

（1）$a_4$是数列$\left\{a_n\right\}$中首次为$4$的项，写出所有满足条件的数列的首项；

（2）求证：$\{1,2,3,\}\subseteq A$．

（3）$a\leqslant 2014$时，求$A$中元素个数的最大值．

 3、已知数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_n\in\mathcal N^*$，$a_1=1$， $$a_{n+1}=\begin{cases}a_n-n,&a_n>n\\a_n+n,&a_n\leqslant n.\end{cases}$$

（1）写出$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$；

（2）取出所有$a_i=1$的$i$从小到大排列得到$\left\{n_k\right\}$，用$n_k$表示$n_{k+1}$；

（3）求最小值的$n\in\mathcal N^*$，使得$a_n=2013$．

参考答案

1、（1）不能结束；（2）$a=1007$，$b=1005$；（3）$k$的最小值为$504$．

提示：（3）$x,2,x+2$（$x\geqslant 12$）经过$6$次$T$变换后会变成$x-12,x,x-10$．

2、（1）$10,33,35,108$；（2）略；（3）$21$．

提示：（3）按$3$的方幂划分区间观察变化规律，结合$3$进制数更加易于理解．

3、（1）$1,2,4,1,5$；（2）$n_{k+1}=3n_k+1$；（3）$5817$．

提示：（2）注意$a_{n_{k+1}}=n_k+1$．