练习题[8] 解析几何练习

1、（2014年北京市西城二模）设$A$、$B$是椭圆$W:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$不关于坐标轴对称的两个点，直线$AB$交$x$轴于点$M$（与点$A$、$B$）不重合），$O$为坐标原点．

（1）如果点$M$是椭圆$W$的右焦点，线段$MB$的中点在$y$轴上，求直线$AB$的方程；

（2）设$N$为$x$轴上的一点，且$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=4$．直线$AN$与椭圆$W$的另外一个交点为$C$．证明：点$B$与点$C$关于$x$轴对称．

2、已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点$F(2,0)$的距离为$\sqrt{10}$，过焦点$F$作直线$l$，交椭圆于$A$、$B$两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上有一点$C$，使四边形$AOBC$恰好为平行四边形，求直线$l$的斜率．

3、（2014年北京市朝阳区一模）已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$经过点$\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$．

（1）求椭圆$C$的方程；

（2）直线$y=k(x-1)(k\neq 0$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，点$M$是椭圆$C$的右顶点．直线$AM$与直线$BM$分别与$y$轴交于点$P$、$Q$．试问以线段$PQ$为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

4、（2014年北京市石景山区一模）给定椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，称圆心在原点$O$，半径为$\sqrt{a^2+b^2}$的圆是椭圆$C$的“准圆”．若椭圆$C$的一个焦点为$F\left(\sqrt 2,0\right)$，其短轴上的一个端点到$F$的距离为$\sqrt 3$．

（1）求椭圆$C$的方程和其“准圆”的方程；

（2）点$P$是椭圆$C$的“准圆”上动点，过$P$作椭圆的切线$l_1$、$l_2$交“准圆”于点$M$、$N$．

① 当$P$为“准圆”与$y$轴正半轴的的交点时，求直线$l_1$、$l_2$的方程，并证明$l_1\perp l_2$；

② 求证：线段$MN$的长为定值．

5、（2015年北京市东城区高三期末）已知椭圆$C$的中心在原点，焦点在$x$轴上，短轴长为$2$，离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$．

（1）求椭圆$C$的方程；

（2）设$P$是椭圆$C$长轴上的一个动点，过$P$作斜率为$\dfrac 12$的直线$l$交椭圆$C$于$A$、$B$两点，求证：$PA^2+PB^2$为定值．

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参考答案

1、（1）$AB:3x\pm 4y-3=0$；（2）略．

提示：（2）可以利用定比点差法．

2、（1）$\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=1$；（2）$k=\pm1$．

提示：（2）可以利用垂径定理．

3、（1）$\dfrac{x^2}4+y^2=1$；（2）定点坐标为$\left(\pm\sqrt 3,0\right)$．

提示：（2）可以利用定比点差法．

4、（1）$C:\dfrac{x^2}3+y^2=1$，$x^2+y^2=4$；（2）$MN=4$．

提示：（2）可以利用相关直线以及直线与椭圆位置关系的等效判别式．

5、（1）$C:\dfrac{x^2}4+y^2=1$；（2）$PA^2+PB^2=5$．

提示：（2）可以利用仿射变换．