练习题[7] 立体几何练习

1、在空间四边形$ABCD$中，两条对角线$AC$、$BD$互相垂直，且长度分别为$4$和$6$，平行于这两条对角线的平面与边$AB$、$BC$、$CD$、$DA$分别相交于点$E$、$F$、$G$、$H$，记四边形$EFGH$的面积为$y$，设$\dfrac{BE}{AB}=x$，则（        ）

A．函数$y=f(x)$的值域为$\left(0,4\right]$

B．函数$y=f(x)$的最大值为$8$

C．函数$y=f(x)$在$\left(0,\dfrac 23\right)$上单调递减

D．函数$y=f(x)$满足$f(x)=f(1-x)$

2、在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$E$为底面$ABCD$上的动点．若三棱锥$B-D_1EC$的表面积最大，则$E$点位于（        ）

A．点$A$处

B．线段$AD$的中点处

C．线段$AB$的中点处

D．点$D$处

3、在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M\in AA_1$，$N\in DD_1$且$\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{NP}=0$，$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则$BP$与底面$ABCD$所成角正切的最大值为_______．

4、正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，动点$P$、$Q$分别在棱$BC$、$CC_1$上，过点$A$、$P$、$Q$的平面截该正方体所得截面记为$S$，设$BP=x$、$CQ=y$，其中$x,y\in [0,1]$，下列命题中正确的有_______．

① 当$x=0$时，$S$为矩形，其面积最大为$1$；

② 当$x=y=\dfrac 12$时，$S$为等腰梯形；

③ 当$x=\dfrac 12$，$y\in\left(\dfrac 12,1\right]$时，设$S$与棱$C_1D_1$的交点为$R$，则$RD_1=2-\dfrac 1y$；

④ 当$y=\dfrac 12$时，以$B_1$为顶点，$S$为底面的棱锥的体积为定值$\dfrac 13$．

5、在四棱锥$P-ABCD$中，$PD\perp$平面$ABCD$，底面$ABCD$为正方形，$PD=AD=2$．$M$、$N$分别为线段$AC$上的点，若$\angle MBN=30^\circ$，则三棱锥$M-PNB$体积的最小值为_______．

6、棱长为$1$的正方体的正投影面积的取值范围是_______．

7、设$P$、$Q$为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线$PQ$旋转$\theta$（$0<\theta<2\pi$）角后能与自身重合，那么符合条件的直线$PQ$有_______条．

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参考答案

1、D．

2、A．

3、$\dfrac{\sqrt 5+1}{2}$．

4、②③．

5、$\dfrac 43\left(2-\sqrt 3\right)$．

6、$\left[1,\sqrt 3\right]$．

7、$13$．