练习题集[40]基础练习

1、已知函数$f(x)=ax^2+x-b$($a,b>0$)，不等式$f(x)>0$的解集记为$P$，集合$Q=\{x|-2-t<x<-2+t\}$．若对于任意正数$t$，$P\cap Q\ne\varnothing$，则$\dfrac 1a-\dfrac 1b$的最大值是_______．

2、已知$x\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$，将四个数 $$\sin (\sin x),\sin (\cos x),\cos (\sin x),\cos (\cos x)$$ 从小到大排列：______________．

3、若$a<b^2<\dfrac{2017}{2016}a$对正整数$a,b$成立，则$a$的最小值是______．

4、已知正四面体$ABCD$的棱$CD$在平面$\alpha$上，$E$为棱$BC$的中点，当正四面体$ABCD$绕$CD$旋转时，直线$AE$与平面$\alpha$所成最大角的正弦值为_______．

5、已知$f(x)=ax+\ln x-\dfrac{x^2}{x-\ln x}$有三个不同的零点$x_1,x_2,x_3$（其中$x_1<x_2<x_3$），则$\left(1-\dfrac{\ln x_1}{x_1}\right)^2\left(1-\dfrac{\ln x_2}{x_2}\right)\left(1-\dfrac{\ln x_3}{x_3}\right)$的值为_______．

6、求证：分别以平行四边形的四条边为直径的圆可以覆盖这个平行四边形．

7、已知函数$f(x)={\rm e}^x+ax^2-{\rm e}x$，若曲线$y=f(x)$上存在唯一的点$P$，使得$P$点处的切线与曲线有唯一公共点$P$，求$P$点的横坐标．

参考答案

1、$\dfrac 12$．

提示    $f(-2)\geqslant 0$．

2、$\sin(\sin x)<\cos (\cos x)<\sin (\cos x)<\cos (\sin x)$．

3、$2024$．

提示    $\dfrac{2016}{2017}\cdot b^2<a<b^2$，考虑到$b^2$为正整数，因此 $$b^2-\dfrac{2016}{2017}\cdot b^2>1,$$ 从而$b$的最小值为$45$，$a$的最小值为$b^2-1=2024$．

4、$\dfrac{\sqrt{33}}6$．

提示    设$M$为$BD$的中点，则问题等价于$AE$绕$EM$运动．

5、$1$．

提示    令$t=\dfrac{\ln x}x$，则 $$t^2+(a-1)t+1-a=0,$$ 于是 $$t_1<0<t_2<\dfrac{1}{\rm e},$$ 从而原式即 $$[(1-t_1)(1-t_2)]^2=1.$$

6、提示    如图分割即得．

7、$\ln (-2a)$．

提示    研究函数 $$g(x)={\rm e}^x+ax^2-\left({\rm e}^t+2at\right)\cdot x+at^2+{\rm e}^t(t-1)$$ 的零点即可，其中$t$为$P$点的横坐标．