[易错题汇编](八)平面向量篇

一、概念判断

给出下列命题:

①$\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a\right )\cdot\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a\right )=\left|\overrightarrow a\right |^4$;

②$\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\right )\cdot\overrightarrow c=\overrightarrow a\cdot\left(\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c\right )$;

③$\left|\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a\right |\cdot\left|\overrightarrow b\right |$;

④若$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$,$\overrightarrow b\parallel \overrightarrow c$,则$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow c$;

⑤若$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$,则$\overrightarrow a=\overrightarrow 0$或$\overrightarrow b=\overrightarrow 0$.

⑥若$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$,则存在唯一的实数$\lambda $,使得$\overrightarrow b=\lambda \overrightarrow a$;

⑦若$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow c=\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c$,且$\overrightarrow c\ne \overrightarrow 0$,则$\overrightarrow a=\overrightarrow b$;

⑧设$\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}$是平面内两个非零的向量,则对于平面内的任意一个向量$\overrightarrow a$,则存在唯一一组实数$x,y$,使得$\overrightarrow a=x\overrightarrow {e_1}+y\overrightarrow {e_2}$;

其中正确命题的序号为_____.

答案 ①


二、向量运算的几何意义

已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b$是平面上两个非零向量,下列说法正确的有_____.

①“$\left|\overrightarrow a\right |=\left|\overrightarrow b\right|$”的充要条件是“$\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right )\perp\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right )$”;

②“$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$”的充要条件是“$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right |$”;

③“$\left|\overrightarrow a\right |+\left|\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right |$”的充要条件是“向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的方向相同”;

④“向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的方向相反”的充要条件是“$\left|\overrightarrow a\right |-\left|\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right |$”;

⑤已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b$为单位向量,它们的夹角记为$\theta$,则“$\theta=120^\circ$”的充要条件是“$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right |=1$”.

⑥已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b$为单位向量,它们的夹角记为$\theta$,则“$\theta=60^\circ$”的充要条件是“$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right |=1$”.

答案 ①②③


三、数量积与坐标的相关计算

(1)已知向量$\overrightarrow a=(1,2)$,向量$\overrightarrow b\perp\overrightarrow a$,且$\left|\overrightarrow a\right |=\left|\overrightarrow b\right |$,则向量$\overrightarrow b$的坐标为_____;

(2)与向量$\overrightarrow a=(3,-4)$平行的单位向量是_____;

(3)若$\overrightarrow a\parallel  \overrightarrow b$,且$\left|\overrightarrow a\right |=2\left|\overrightarrow b\right |=1$,则$\overrightarrow a\cdot\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right )=$_____;

(4)已知向量$\overrightarrow a=(-2,1)$,$\overrightarrow b=(m,-1)$,若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角,则$m$的取值范围是_____;

(5)已知$\triangle ABC$的三边长为$AB=3$,$BC=4$,$CA=5$,则$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {CA}\cdot\overrightarrow {AB}=$_____.

答案 (1)$(2,-1)$或$(-2,1)$;

(2)$\left(\dfrac 35,-\dfrac 45\right )$或$\left(-\dfrac 35,\dfrac 45\right )$;

(3)$\dfrac 12$或$\dfrac 32$;

(4)$\left(-\dfrac 12,2\right )\cup(2,+\infty)$;

(5)$-25$.

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