每日一题[33] 交点曲线系

如图，已知圆$G:(x-2)^2+y^2=r^2$是椭圆$\dfrac{x^2}{16}+y^2=1$的内接三角形$ABC$的内切圆，其中$A$为椭圆的左顶点．

（1）求圆$G$的半径$r$；

（2）过$M(0,1)$作圆的两条切线交椭圆于$E,F$两点，证明：直线$EF$与圆$G$相切．

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 （1）如图，设切点分别为$P,Q$．

 

由三角形$APG$与三角形$AQB$相似，有

$$\frac{PG}{AP}=\frac{BQ}{AQ},$$ 于是 $$\frac{r}{\sqrt{36-r^2}}=\frac{BQ}{6+r},$$ 从而 $$BQ=r\cdot\sqrt{\frac{6+r}{6-r}}.$$

将$B$的坐标代入椭圆方程有

$$\frac{1}{16}\cdot (2+r)^2+\left(r\cdot\sqrt{\frac{6+r}{6-r}}\right)^2=1,$$ 注意到$r=-6$是该方程的一个解，解得正根 $$r=\frac 23.$$

（2）设过$M$的切线为$y=kx+1$，则由直线与圆的位置关系可得

$$\frac{\left|2k+1\right|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac 23,$$ 即 $$32k^2+36k+5=0.$$

于是设直线$ME$、$MF$的斜率分别为$k_1$、$k_2$，则

$$k_1+k_2=-\frac{9}{8},k_1\cdot k_2=\frac 5{32}\qquad\cdots (*).$$

将两条相交直线$ME\cup MF$看作是一条曲线

$$\left(y-k_1x-1\right)\cdot\left(y-k_2x-1\right)=0,$$

注意到这条曲线与椭圆的交点为$M$、$E$、$F$，因此需要设法联立变形为直线方程，且在联立过程中去掉解$x=0,y=1$．

于是将该曲线方程和椭圆方程分别变形为

$$-k_1\cdot k_2x^2=(y-1)^2-(k_1+k_2)x(y-1)$$ 和 $$-\frac 1{16}x^2=y^2-1,$$

将(*)代入，两式相比得

$$\frac 52=\frac{y-1+\frac 98x}{y+1},$$ 化简得 $$EF:9x-12y-28=0.$$

从而圆心$G(2,0)$到直线$EF$的距离为

$$\frac{10}{\sqrt{9^2+12^2}}=\frac 23=r,$$ 原命题得证．

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点评    有大量三线共点时考虑交点曲线系是非常正确的选择，如何根据要求书写交点曲线系是其中富有技巧性的部分．例如本题中就没有使用平时熟知的交点曲线系$F+\lambda G=0$．