每日一题[363]共焦点的椭圆与双曲线

已知 $F_1$ ,$F_2$是椭圆和双曲线的公共焦点，$P$是它们的一个公共点，且$\angle{F_1PF_2}=\dfrac{\pi}{3}$，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为____．

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正确答案是$\dfrac{4\sqrt 3}{3}$．

解　不妨设椭圆与双曲线都是焦点在$x$轴上的标准椭圆与双曲线，$P$为第一象限内的公共点，并记椭圆的半长轴长、半短轴长、离心率分别为$a_1,b_1,e_1$，双曲线的半实轴长、半虚轴长、离心率分别为$a_2,b_2,e_2$，它们的半焦距长相等，设为 $c$．

由题意知

$$\begin{cases}|PF_1|+|PF_2|=2a_1,\\|PF_1|-|PF_2|=2a_2,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}|PF_1|=a_1+a_2,\\|PF_2|=a_1-a_2.\end{cases}$$ 在$\triangle{PF_1F_2}$中应用余弦定理得 $$\dfrac 12=\dfrac {(a_1+a_2)^2+(a_1-a_2)^2-4c^2}{2(a_1+a_2)(a_1-a_2)},$$ 计算得 $$a_1^2+3a_2^2=4c^2.$$ 题目中要求的是$\dfrac  {1}{e_1}+\dfrac {1}{e_2}=\dfrac {a_1}{c}+\dfrac {a_2}{c}$的最大值．设$x=\dfrac {a_1}{c},y=\dfrac {a_2}{c}$，则本题转化为已知 $$x^2+3y^2=4,x>1,0<y<1,$$ 求$x+y$的最大值．

由柯西不等式得

$$\begin{split} x+y&=1\cdot x+\dfrac {1}{\sqrt 3}\cdot {\sqrt{3}y}\\&\leqslant \sqrt{1+\dfrac 13}\cdot\sqrt{x^2+3y^2}\\&=\dfrac{4\sqrt 3}{3}.\end{split}$$ 当且仅当$x=3y=\sqrt 3$时取到等号．

另法（由weilew提供）：

在本题中要求最大值的表达式恰为$\dfrac {a_1+a_2}{c}=\dfrac {2|PF_1|}{|F_1F_2|}$，所以也可以通过正弦定理上式等于

$$\dfrac {2\sin\angle PF_2F_1}{\sin\angle F_1PF_2}=\dfrac {4}{\sqrt 3}\sin{\angle {PF_2F_1}}\leqslant \dfrac{4\sqrt 3}{3},$$ 当且仅当$\angle PF_2F_1=\dfrac {\pi}{2}$时取到等号．