每日一题[293] 零点问题的两种常见思路

函数的零点问题常见的处理思路有两种，一种思路是将一个函数的零点问题转化成两个（较简单的）函数的交点问题，再结合图象进行判断，需要注意的是函数本身可以进行适当的代数变形以使得转化成的两个函数的草图更容易作出；另一种思路是将这个函数作为整体进行考虑，借助这个函数的性质直接得到结果，有时函数的性质需要借助导数去研究．

2014年湖南高考理科第10题（选择压轴题）：

已知函数$f(x)=x^2+{\mathrm e}^x-\dfrac 12,x<0$与$g(x)=x^2+\ln(x+a)$的图象上存在关于$y$轴对称的点，则$a$的取值范围是_______．

正确答案是$\left(-\infty,\sqrt{\rm e}\right)$.

解    两个函数图象上存在关于$y$轴对称的点，即存在点$(x,y)$与$(-x,y)$分别在两个函数的图象上．不妨设$x>0$，有 $$\begin{cases}y=g(x)=x^2+\ln(x+a),\\y=f(-x)=x^2+{\mathrm e}^{-x}-\frac 12.\end{cases}$$ 即方程 $$\ln(x+a)-{\mathrm e}^{-x}+\frac 12=0$$ 有正的实数解．

思路一    分治

考虑将方程的解的问题转化成两个函数的交点问题，方程 $$\ln(x+a)={\rm e}^{-x}-\frac 12.$$ 有正根，即函数$y=\ln(x+a)$与$y={\rm e}^{-x}-\dfrac 12$在$y$轴右侧有交点．如图：

当两个函数图象的交点在$A$的右侧时，满足情况，所以 $$a<\sqrt{\rm e}.$$

思路二    归并

记函数 $$h(x)=\ln(x+a)-{\mathrm e}^{-x}+\frac 12，x>0$$ 因为$h(x)$在定义域$(l,+\infty)(l=\max\{-a,0\})$上是增函数，所以可以直接根据零点存在的条件得到参数范围：

当$x\rightarrow +\infty$时，$h(x)\rightarrow +\infty$；只需当$x\rightarrow l$时，$h(x)$可以取到负值即可．于是有 $$(a>0)\land \left(\ln a-1+\frac 12<0\right),$$ 或 $$a<0.$$ 解得 $$a<\sqrt{\rm e}.$$

下面给出一道练习

已知函数$g(x)=a-x,\dfrac{1}{\rm e}\leqslant x\leqslant {\rm e}$与$h(x)=\ln x$的图象上存在关于$x$轴对称的点，则实数$a$的取值范围是____．

答案  $[1,{\rm e}-1]$.

更多零点问题参见函数零点问题小结，以及每日一题[145]分段函数的零点．