对于两个有限集合$M$、$N$,如果我们能够建立单射$f:M \to N$,那么${\rm{card}}(N)$(其中${\rm{card}}$表示有限集合中元素的数目).进一步,如果我们能够证明$f$是满射,那么就可以得到${\rm{card}}(M )={\rm{card}}(N)$.这一简单结论在组合计数中应用很广泛,举例如下.
问题一 棋盘上的方格
如图1,一个$m \times n$的棋盘(指包含边界在内有$m$条竖线和$n$条横线).
(1)有多少个小正方形方格?
(2)有多少个“对顶”方格组(包括旋转对称后的形状)?
(1)解 设$M$是小正方形方格的集合,$N$是前$m-1$条竖线和$n-1$条横线形成的交点的集合.那么小正方形方格和$N$中的点是一一映射的,因此$${\rm{card}}(M) = {\rm{card}}(N)=(m-1)(n-1).$$
(2)解 设$M$是“对顶”方格组的集合,通过取两个小方格的公共点$P$以及形成方向$\tau$,于是$(P,\tau)$构成集合$N$.显然这也是一个一一映射,于是$${\rm{card}}(M) = {\rm{card}}(N)=2(m-2)(n-2).$$
思考题 有多少个“犄角”方格组(包括旋转对称后的形状)呢?又有多少个“情侣”方格组(包括旋转后的形状)?(如图2)
答案分别为$4\left( {m-2} \right)\left( {n-2} \right)$和$(m-2)(n-1)+(m-1)(n-2)$.
提示 对于“犄角”,可以取中心点和缺角方向;对于“情侣”,可以取中间的小竖线或小横线.
问题二 棋盘上的“方格”
如图3,在一个$m \times n$的矩形网格(指包含边界在内有$m$条竖线和$n$条横线)中有多少个矩形?
解 如图4,横线上的两个不同点和竖线上的两个不同点与矩形一一对应,于是所求矩形数为$${\rm{C}}_m^2{\rm{C}}_n^2.$$
思考题 如图5,在一个$n$级正三角网格中有多少个平行四边形呢?
答案是$3{\rm{C}}_{n+2}^4$.
提示 如图6,每条横线上的四个不同点都与平行四边形一一对应.
问题三 圆周上的点
圆周上有$n$个点,用弦把它们连接起来,那么
(1)有多少条不同的弦?
(2)这些弦至多有多少个交点(指在圆内部的)?
(3)这些弦至多将圆分成多少个无公共部分的区域?
(1)解 如图7,圆上的两个无序点对与弦一一对应,因此数目为${\rm{C}}_n^2$;
(2)解 圆上的四个无序点对与交点一一对应(圆内接四边形对角线的交点),因此数目为${\rm{C}}_n^4$;
(3)解 新添一条弦$l$时,弦$l$与其他弦的交点将$l$分割为交点数加1条线段,每条线段都对应一个新增区域.因此所求数目为$1 + {\rm{C}}_n^2 + {\rm{C}}_n^4$.
思考题 平面上有$n$条直线,它们最多将平面分成多少个不同的无重叠部分的区域?
答案是${\rm C}_n^2+{\rm C}_n^1+1$.
问题四 数的拆分
将一个正整数$n$表示为${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_p}$($p \in {{\mathcal N}^ * }$)的形式,其中${a_i} \in {\mathcal{N}^ * }$,$i = 1,2, \cdots ,p$,且${a_1} \leqslant {a_2} \leqslant \cdots \leqslant {a_p}$,记所有这样的表示法的种数为$f\left( n \right)$(如$4 = 4$,$4 = 1 + 3$,$4 = 2 + 2$,$4 = 1 + 1 + 2$,$4 = 1 + 1 + 1 + 1$,故$f\left( 4 \right) = 5$).对任意正整数$n$,比较$f\left( {n + 1} \right)$与$\dfrac{1}{2}\left[ {f\left( n \right) + f\left( {n + 2} \right)} \right]$的大小,并给出证明.
解 对任意正整数$n$,均有$$f\left( {n + 1} \right) \leqslant \dfrac{1}{2}\left[ {f\left( n \right) + f\left( {n + 2} \right)} \right],$$只需要证明$$f\left( {n + 2} \right) - f\left( {n + 1} \right) \geqslant f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right),$$证明如下:
注意到在$n$的所有表示法前加上“$1 + $”就可以得到$\left( {n + 1} \right)$的表示法中以$1$为第一项的表示法,因此$\left( {n + 1} \right)$的表示法中以$1$为第一项的有$f\left( n \right)$种,而不以$1$为第一项的有$f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right)$种;
类似的,$\left( {n + 2} \right)$的表示法中不以$1$为第一项的有$f\left( {n + 2} \right) - f\left( {n + 1} \right)$种;在$\left( {n + 1} \right)$的表示法中所有不以$1$为第一项的表示法中的最后一项加上$1$就可以得到$\left( {n + 2} \right)$的表示法中不以$1$为第一项的表示法,且这些表示法均不相同.这样就建立了从$\left( {n + 1} \right)$的不以$1$为第一项的表示法到$\left( {n + 2} \right)$的不以$1$为第一项的表示法的单射.
因此$$f\left( {n + 2} \right) - f\left( {n + 1} \right)\geqslant f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right).$$
注一 此题即2014年北京市海淀区第二次模拟考试理科数学压轴题.
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