每日一题[264] 投石问路-探索必要条件

2014高考数学全国新课标II第12题(选择压轴题):

设函数f(x)=3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x20+f2(x0)<m2,则m的取值范围是_____.


正确答案是(,2)(2,+)

解    正弦型函数的极值点即最值点,有πxm=kπ+π2kZ.解得x=m(k+12)kZ.且此时有f2(x0)=3.于是题目转化为kZm2[1(k+12)2]>3.我们发现,这个不等式成立的一个必要条件是1(k+12)2>0.从而将k的范围缩小到(k=0)(k=1).这两个k值都对应着m2>4,从而得到结果.

本题的常规解法是将存在性条件转化成最值问题得到3m2<maxkZ{1(k+12)2}.注意:这样的转化绕开了对1(k+12)2的正负的讨论.

对于含参的比较复杂的问题,通过探索题目所给条件的必要条件,缩小参数的取值范围,常常可以减少一般性的讨论,降低计算量.这个思路与导数问题中的端点分析法的出发点是一样的.

下面给出一道练习:

设函数f(x)=x2ax+a+3g(x)=ax2a,若存在x0R,使得f(x0)<0g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围为____.

答案    (7,+)

提示    本题中要使得f(x0)<0成为可能,必须有Δ=(a)24(a+3)>0从而有(a>6)(a<2).结合图象知,无论a>6还是a<2,都只需要f(2)<0.

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