每日一题[264] 投石问路－探索必要条件

2014高考数学全国新课标II第12题（选择压轴题）：

设函数$f(x)=\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi x}{m}$．若存在$f(x)$的极值点$x_0$满足$x_0^2+f^2(x_0)<m^2$，则$m$的取值范围是_____．

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正确答案是$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$．

解    正弦型函数的极值点即最值点，有

$$\frac{\pi x}{m}=k\pi+\frac{\pi}{2}，k\in\mathcal{Z}.$$ 解得 $$x=m\left(k+\frac 12\right)，k\in \mathcal{Z}.$$ 且此时有 $$f^2(x_0)=3.$$ 于是题目转化为 $$\exists k\in\mathcal{Z}，m^2\left[1-\left(k+\frac 12\right)^2\right]>3.$$ 我们发现，这个不等式成立的一个必要条件是 $$1-\left(k+\frac 12\right)^2>0.$$ 从而将$k$的范围缩小到 $$(k=0)\lor(k=-1).$$ 这两个$k$值都对应着 $$m^2>4,$$ 从而得到结果．

本题的常规解法是将存在性条件转化成最值问题得到

$$\dfrac{3}{m^2}<\max\limits_{k\in\mathcal Z}\left\{1-\left(k+\frac 12\right)^2\right\}.$$ 注意：这样的转化绕开了对$1-\left(k+\dfrac 12\right)^2$的正负的讨论．

对于含参的比较复杂的问题，通过探索题目所给条件的必要条件，缩小参数的取值范围，常常可以减少一般性的讨论，降低计算量．这个思路与导数问题中的端点分析法的出发点是一样的．

下面给出一道练习：

设函数$f(x)=x^2-ax+a+3$，$g(x)=ax-2a$，若存在$x_0\in\mathcal{R}$，使得$f(x_0)<0$与$g(x_0)<0$同时成立，则实数$a$的取值范围为____．

答案    $(7,+\infty)$

提示    本题中要使得$f(x_0)<0$成为可能，必须有

$$\Delta=(-a)^2-4(a+3)>0，$$ 从而有 $$(a>6)\lor(a<-2).$$ 结合图象知，无论$a>6$还是$a<-2$，都只需要 $$f(2)<0.$$