2014高考数学全国新课标II第12题(选择压轴题):
设函数f(x)=√3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x20+f2(x0)<m2,则m的取值范围是_____.
正确答案是(−∞,−2)∪(2,+∞).
解 正弦型函数的极值点即最值点,有πxm=kπ+π2,k∈Z.解得x=m(k+12),k∈Z.且此时有f2(x0)=3.于是题目转化为∃k∈Z,m2[1−(k+12)2]>3.我们发现,这个不等式成立的一个必要条件是1−(k+12)2>0.从而将k的范围缩小到(k=0)∨(k=−1).这两个k值都对应着m2>4,从而得到结果.
本题的常规解法是将存在性条件转化成最值问题得到3m2<maxk∈Z{1−(k+12)2}.注意:这样的转化绕开了对1−(k+12)2的正负的讨论.
对于含参的比较复杂的问题,通过探索题目所给条件的必要条件,缩小参数的取值范围,常常可以减少一般性的讨论,降低计算量.这个思路与导数问题中的端点分析法的出发点是一样的.
下面给出一道练习:
设函数f(x)=x2−ax+a+3,g(x)=ax−2a,若存在x0∈R,使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围为____.
答案 (7,+∞)
提示 本题中要使得f(x0)<0成为可能,必须有Δ=(−a)2−4(a+3)>0,从而有(a>6)∨(a<−2).结合图象知,无论a>6还是a<−2,都只需要f(2)<0.