2014高考数学全国新课标II第12题（选择压轴题）：
设函数\(f(x)=\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi x}{m}\)．若存在\(f(x)\)的极值点\(x_0\)满足\(x_0^2+f^2(x_0)<m^2\)，则\(m\)的取值范围是_____．
正确答案是\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)．
解 正弦型函数的极值点即最值点，有\[\frac{\pi x}{m}=k\pi+\frac{\pi}{2}，k\in\mathcal{Z}.\]解得\[x=m\left(k+\frac 12\right)，k\in \mathcal{Z}.\]且此时有\[f^2(x_0)=3.\]于是题目转化为\[\exists k\in\mathcal{Z}，m^2\left[1-\left(k+\frac 12\right)^2\right]>3.\]我们发现，这个不等式成立的一个必要条件是\[1-\left(k+\frac 12\right)^2>0.\]从而将\(k\)的范围缩小到\[(k=0)\lor(k=-1).\]这两个\(k\)值都对应着\[m^2>4,\]从而得到结果．
本题的常规解法是将存在性条件转化成最值问题得到\[\dfrac{3}{m^2}<\max\limits_{k\in\mathcal Z}\left\{1-\left(k+\frac 12\right)^2\right\}.\]注意：这样的转化绕开了对\(1-\left(k+\dfrac 12\right)^2\)的正负的讨论．
对于含参的比较复杂的问题，通过探索题目所给条件的必要条件，缩小参数的取值范围，常常可以减少一般性的讨论，降低计算量．这个思路与导数问题中的端点分析法的出发点是一样的．
下面给出一道练习：
设函数\(f(x)=x^2-ax+a+3\)，\(g(x)=ax-2a\)，若存在\(x_0\in\mathcal{R}\)，使得\(f(x_0)<0\)与\(g(x_0)<0\)同时成立，则实数\(a\)的取值范围为____．
答案 \((7,+\infty)\)
提示 本题中要使得\(f(x_0)<0\)成为可能，必须有\[\Delta=(-a)^2-4(a+3)>0，\]从而有\[(a>6)\lor(a<-2).\]结合图象知，无论\(a>6\)还是\(a<-2\)，都只需要\[f(2)<0.\]