每日一题[250] 数形结合

已知函数$f(x)=\ln x-ax^2$，其中$a>0$．若存在$x_1,x_2\in [1,3]$，且$x_1-x_2\geqslant 1$，使得$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$，求证：$\dfrac{\ln 3-\ln 2}{5}\leqslant a\leqslant \dfrac{\ln 2}{3}$．

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证明    根据已知，有

$$\begin{eqnarray}\begin{cases}\ln x_1-ax_1^2=0,\\\ln x_2-ax_2^2=0,\end{cases}\end{eqnarray}$$ 观察欲证不等式的形式，将 (1) 中的两式相减，可得 $$a=\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1^2-x_2^2},$$ 于是欲证不等式可以变形为 $$\begin{eqnarray}\dfrac{\ln 9-\ln 4}{9-4}\leqslant \dfrac{\ln x_1^2-\ln x_2^2}{x_1^2-x_2^2}\leqslant \dfrac{\ln 4-\ln 1}{4-1}.\end{eqnarray}$$

将 (2) 中的代数式用图形表示，可知由

$$\begin{eqnarray}1\leqslant x_2^2\leqslant 4\leqslant x_1^2\leqslant 9\end{eqnarray}$$ 可得欲证不等式成立．

得到了几何图形的支持以后，需要给出严格的证明．

事实上，可以根据几何图形证明一个更强的结论：

引理    当$x_1^2$或$x_2^2$增大时，$2a$的取值$\dfrac{\ln x_1^2-\ln x_2^2}{x_1^2-x_2^2}$均减少．

引理的证明    记$F=\dfrac{\ln u-\ln v}{u-v}$，则

$$F_u'=\dfrac{\ln\dfrac{v}{u}+1-\dfrac{v}{u}}{\left(u-v\right)^2},$$ 而 $$\forall \dfrac vu>0\land u\neq v,\ln\dfrac vu<\dfrac vu-1,$$ 于是$F_u'< 0$，进而可得当$x_1^2$增大时，$2a$的取值减小．同理可得当$x_2^2$增大时，$2a$的取值也减小．

这样一来，对 (3) 应用引理即有结论．

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接下来，可以将解法改写．

由于函数$f(x)$的导函数为

$$f'(x)=\dfrac {1-2ax^2}{x},$$ 在区间$[1,3]$上存在两个点$f(x)$的函数值相同，于是$f(x)$必然存在区间上的极值点，因此函数$f(x)$在区间$\left(1,\dfrac{\sqrt{2a}}{2a}\right)$上单调递增，在区间$\left(\dfrac{\sqrt {2a}}{2a},3\right)$上单调递减．于是 $$f(1)\leqslant f(2)\land f(2)\geqslant f(3),$$ 整理即得欲证不等式．

注    先通过发现题目的几何解释，然后在几何层面上加强结论，再回到代数层面给出简洁的解答是数形结合思想的核心，也是研究函数问题时的重要“修炼”手段．