每日一题[250] 数形结合

已知函数f(x)=lnxax2,其中a>0.若存在x1,x2[1,3],且x1x21,使得f(x1)=f(x2),求证:ln3ln25aln23


证明    根据已知,有{lnx1ax21=0,lnx2ax22=0,观察欲证不等式的形式,将 (1) 中的两式相减,可得a=lnx1lnx2x21x22,于是欲证不等式可以变形为ln9ln494lnx21lnx22x21x22ln4ln141.

QQ20150925-3

将 (2) 中的代数式用图形表示,可知由1x224x219可得欲证不等式成立.

得到了几何图形的支持以后,需要给出严格的证明.

事实上,可以根据几何图形证明一个更强的结论:

引理    当x21x22增大时,2a的取值lnx21lnx22x21x22均减少.

引理的证明    记F=lnulnvuv,则Fu=lnvu+1vu(uv)2,vu>0uv,lnvu<vu1,于是Fu<0,进而可得当x21增大时,2a的取值减小.同理可得当x22增大时,2a的取值也减小.

这样一来,对 (3) 应用引理即有结论.


接下来,可以将解法改写.

由于函数f(x)的导函数为f(x)=12ax2x,在区间[1,3]上存在两个点f(x)的函数值相同,于是f(x)必然存在区间上的极值点,因此函数f(x)在区间(1,2a2a)上单调递增,在区间(2a2a,3)上单调递减.于是f(1)f(2)f(2)f(3),整理即得欲证不等式.

   先通过发现题目的几何解释,然后在几何层面上加强结论,再回到代数层面给出简洁的解答是数形结合思想的核心,也是研究函数问题时的重要“修炼”手段.

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