已知函数f(x)=lnx−ax2,其中a>0.若存在x1,x2∈[1,3],且x1−x2⩾1,使得f(x1)=f(x2),求证:ln3−ln25⩽a⩽ln23.
证明 根据已知,有{lnx1−ax21=0,lnx2−ax22=0,观察欲证不等式的形式,将 (1) 中的两式相减,可得a=lnx1−lnx2x21−x22,于是欲证不等式可以变形为ln9−ln49−4⩽lnx21−lnx22x21−x22⩽ln4−ln14−1.
将 (2) 中的代数式用图形表示,可知由1⩽x22⩽4⩽x21⩽9可得欲证不等式成立.
得到了几何图形的支持以后,需要给出严格的证明.
事实上,可以根据几何图形证明一个更强的结论:
引理 当x21或x22增大时,2a的取值lnx21−lnx22x21−x22均减少.
引理的证明 记F=lnu−lnvu−v,则F′u=lnvu+1−vu(u−v)2,而∀vu>0∧u≠v,lnvu<vu−1,于是F′u<0,进而可得当x21增大时,2a的取值减小.同理可得当x22增大时,2a的取值也减小.
这样一来,对 (3) 应用引理即有结论.
接下来,可以将解法改写.
由于函数f(x)的导函数为f′(x)=1−2ax2x,在区间[1,3]上存在两个点f(x)的函数值相同,于是f(x)必然存在区间上的极值点,因此函数f(x)在区间(1,√2a2a)上单调递增,在区间(√2a2a,3)上单调递减.于是f(1)⩽f(2)∧f(2)⩾f(3),整理即得欲证不等式.
注 先通过发现题目的几何解释,然后在几何层面上加强结论,再回到代数层面给出简洁的解答是数形结合思想的核心,也是研究函数问题时的重要“修炼”手段.