每日一题[252] 一箭双雕

已知实数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$的各项均不为 $0$，且 $$\begin{cases}a_n=a_{n-1}\cos \theta-b_{n-1}\sin \theta,\\b_n=a_{n-1}\sin \theta+b_{n-1}\cos \theta,\end{cases}$$ $a_1=1$，$b_1=\tan \theta$，其中$\theta$为已知常数，求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式．

解    观察已知条件，联想到复数的运算： $$a_n+b_n{\rm i}=\left(a_{n-1}+b_{n-1}{\rm i}\right)\cdot\left(\cos\theta+{\rm i}\sin\theta\right),$$ 将$a_n$和$b_n$分别看作复数$z_n$的实部和虚部，即设$z_n=a_n+b_n{\rm i}（n\in \mathcal N^*)$，则已知中的两个递推式可以合并为 $$z_n=z_{n-1}\cdot \left(\cos \theta+\mathrm i\sin \theta\right),n\geqslant 2\land n\in\mathcal N^*.$$ 于是复数数列 $\{z_n\}$是以$z_1=1+\mathrm i\tan \theta$为首项，$\cos \theta+\mathrm i\sin \theta$为公比的等比数列，易得 $$\begin{split}z_n&=(1+\mathrm i\tan \theta)(\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^{n-1}\\&=\sec \theta\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^{n-1}\\&=\sec \theta\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^n\\&=\sec\theta\cdot (\cos{ n\theta}+\mathrm i \sin {n\theta})\\&=\sec \theta\cdot \cos {n\theta}+\mathrm i\sec \theta\cdot \sin {n\theta}.\end{split}$$ 故有$a_n=\sec \theta\cdot \cos n\theta$，$b_n=\sec \theta \cdot \sin n\theta$，其中$n\in\mathcal N^*$．

注    本题的顺利解决依赖于熟练掌握复数的乘法运算法则，而复数的乘法法则 $$(a+b{\rm i})\cdot (c+d{\rm i})=(ac-bd)+(ad+bc){\rm i}$$ 中还蕴含着一个重要的恒等式 $$\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(c^2+d^2\right)=\left(ac-bd\right)^2+\left(ad+bc\right)^2,$$ 这个恒等式是在代数变形中常用的恒等式，同时也是哈密顿发现四元数的重要铺路石．