每日一题[244] 拓展的定义和定理

2012年高考四川卷理科数学第21题（解析几何大题）：

如图，动点$M$与两定点$A(-1,0)$、$B(2,0)$构成三角形$MAB$，且$\angle MBA=2\angle MAB$，设动点$M$的轨迹为$C$．

（1）求轨迹$C$的方程；

（2）设直线$y=-2x+m$与$y$轴相交于点$P$，与轨迹$C$相交于点$Q$、$R$，且$|PQ|<|PR|$，求$\dfrac{|PR|}{|PQ|}$的取值范围．

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解    注意到倍角条件，可以作角平分线构造等腰三角形转化条件．

（1）作$\angle MBA$的角平分线交$MA$于$D$，过$D$作$x$轴的垂线，垂足为$E$，过$M$作$DE$的垂线，垂足为$H$，如图．

根据已知条件可得$\angle DAB=\angle DBA$，于是$DE$为线段$AB$的垂直平分线，为定直线$x=\dfrac 12$．由角平分线定理，可得

$$\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{DM}{DA},$$ 再由三角形$DMH$与三角形$DAE$相似可得 $$\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{MH}{AE},$$ 于是 $$\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{MH}{AE},$$ 从而 $$\dfrac{MB}{MH}=\dfrac{BA}{AE}=2$$ 为定值．

进而由双曲线的第二定义不难得到所求的轨迹方程为

$$x^2-\dfrac{y^2}{3}=1,x>1.$$

（2）设$Q\left(x_1,y_1\right)$，$R\left(x_2,y_2\right)$，$\dfrac{x_2}{x_1}=\lambda$，$\lambda>1$．

联立直线与双曲线方程，可得

$$x^2-4mx+m^2+3=0,$$ 该方程在$(1,+\infty)$内有两个相异实根，于是可得$m>1\land m\neq 2$．

根据韦达定理，有

$$\left(4m\right)^2=\left(2+\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)\cdot\left(m^2+3\right),$$ 化简得 $$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{16m^2}{m^2+3}-2,$$ 于是$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}$的取值范围是$\left(2,\dfrac{50}{7}\right)\cup\left(\dfrac{50}{7},14\right)$，进而不难得到$\lambda$的取值范围是$\left(1,7\right)\cup\left(7,7+4\sqrt 3\right)$．

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注    （2）中用到了拓展的韦达定理，对于关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，若其判别式$\Delta\geqslant 0$，两根分别为$x_1$、$x_2$，则

两根之和$x_1+x_2=-\dfrac ba$；

两根之积$x_1x_2=\dfrac ca$；

两根之差的绝对值$\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{\sqrt \Delta}{|a|}$；

当方程的两根均不为$0$时，两根之比$\lambda$满足$b^2=\left(2+\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)ac$．

下面给出一道练习题：

已知$b,c\in\mathcal R$，若关于$x$的不等式$0\leqslant x^2+bx+c\leqslant 4$的解集为$\left[x_1,x_2\right]\cup\left[x_3,x_4\right]$（$x_2<x_3$），则$\left(2x_4-x_3\right)-\left(2x_1-x_2\right)$的最小值是________．

参考答案    $4\sqrt 3$．