2012年高考四川卷理科数学第21题（解析几何大题）：
如图，动点\(M\)与两定点\(A(-1,0)\)、\(B(2,0)\)构成三角形\(MAB\)，且\(\angle MBA=2\angle MAB\)，设动点\(M\)的轨迹为\(C\)．
（1）求轨迹\(C\)的方程；
（2）设直线\(y=-2x+m\)与\(y\)轴相交于点\(P\)，与轨迹\(C\)相交于点\(Q\)、\(R\)，且\(|PQ|<|PR|\)，求\(\dfrac{|PR|}{|PQ|}\)的取值范围．
解 注意到倍角条件，可以作角平分线构造等腰三角形转化条件．
（1）作\(\angle MBA\)的角平分线交\(MA\)于\(D\)，过\(D\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(E\)，过\(M\)作\(DE\)的垂线，垂足为\(H\)，如图．
根据已知条件可得\(\angle DAB=\angle DBA\)，于是\(DE\)为线段\(AB\)的垂直平分线，为定直线\(x=\dfrac 12\)．由角平分线定理，可得\[\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{DM}{DA},\]再由三角形\(DMH\)与三角形\(DAE\)相似可得\[\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{MH}{AE},\]于是\[\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{MH}{AE},\]从而\[\dfrac{MB}{MH}=\dfrac{BA}{AE}=2\]为定值．
进而由双曲线的第二定义不难得到所求的轨迹方程为\[x^2-\dfrac{y^2}{3}=1,x>1.\]
（2）设\(Q\left(x_1,y_1\right)\)，\(R\left(x_2,y_2\right)\)，\(\dfrac{x_2}{x_1}=\lambda\)，\(\lambda>1\)．
联立直线与双曲线方程，可得\[x^2-4mx+m^2+3=0,\]该方程在\((1,+\infty)\)内有两个相异实根，于是可得\(m>1\land m\neq 2\)．
根据韦达定理，有\[\left(4m\right)^2=\left(2+\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)\cdot\left(m^2+3\right),\]化简得\[\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{16m^2}{m^2+3}-2,\]于是\(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\)的取值范围是\(\left(2,\dfrac{50}{7}\right)\cup\left(\dfrac{50}{7},14\right)\)，进而不难得到\(\lambda\)的取值范围是\(\left(1,7\right)\cup\left(7,7+4\sqrt 3\right)\)．
注 （2）中用到了拓展的韦达定理，对于关于\(x\)的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)，若其判别式\(\Delta\geqslant 0\)，两根分别为\(x_1\)、\(x_2\)，则
两根之和\(x_1+x_2=-\dfrac ba\)；
两根之积\(x_1x_2=\dfrac ca\)；
两根之差的绝对值\(\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{\sqrt \Delta}{|a|}\)；
当方程的两根均不为\(0\)时，两根之比\(\lambda\)满足\(b^2=\left(2+\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)ac\)．
下面给出一道练习题：
已知\(b,c\in\mathcal R\)，若关于\(x\)的不等式\(0\leqslant x^2+bx+c\leqslant 4\)的解集为\(\left[x_1,x_2\right]\cup\left[x_3,x_4\right]\)（\(x_2<x_3\)），则\(\left(2x_4-x_3\right)-\left(2x_1-x_2\right)\)的最小值是________．
参考答案 \(4\sqrt 3\)．