每日一题[244] 拓展的定义和定理

2012年高考四川卷理科数学第21题(解析几何大题):

如图,动点M与两定点A(1,0)B(2,0)构成三角形MAB,且MBA=2MAB,设动点M的轨迹为C

QQ20150920-1

(1)求轨迹C的方程;

(2)设直线y=2x+my轴相交于点P,与轨迹C相交于点QR,且|PQ|<|PR|,求|PR||PQ|的取值范围.


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   注意到倍角条件,可以作角平分线构造等腰三角形转化条件.

(1)作MBA的角平分线交MAD,过Dx轴的垂线,垂足为E,过MDE的垂线,垂足为H,如图.

QQ20150920-3

根据已知条件可得DAB=DBA,于是DE为线段AB的垂直平分线,为定直线x=12.由角平分线定理,可得BMBA=DMDA,再由三角形DMH与三角形DAE相似可得DMDA=MHAE,于是BMBA=MHAE,从而MBMH=BAAE=2为定值.

进而由双曲线的第二定义不难得到所求的轨迹方程为x2y23=1,x>1.

(2)设Q(x1,y1)R(x2,y2)x2x1=λλ>1

联立直线与双曲线方程,可得x24mx+m2+3=0,该方程在(1,+)内有两个相异实根,于是可得m>1m2

根据韦达定理,有(4m)2=(2+λ+1λ)(m2+3),化简得λ+1λ=16m2m2+32,于是λ+1λ的取值范围是(2,507)(507,14),进而不难得到λ的取值范围是(1,7)(7,7+43)


   (2)中用到了拓展的韦达定理,对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,若其判别式Δ,两根分别为x_1x_2,则

两根之和x_1+x_2=-\dfrac ba

两根之积x_1x_2=\dfrac ca

两根之差的绝对值\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{\sqrt \Delta}{|a|}

当方程的两根均不为0时,两根之比\lambda满足b^2=\left(2+\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)ac

下面给出一道练习题:

已知b,c\in\mathcal R,若关于x的不等式0\leqslant x^2+bx+c\leqslant 4的解集为\left[x_1,x_2\right]\cup\left[x_3,x_4\right]x_2<x_3),则\left(2x_4-x_3\right)-\left(2x_1-x_2\right)的最小值是________.

参考答案    4\sqrt 3

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