2012年高考四川卷理科数学第21题(解析几何大题):
如图,动点M与两定点A(−1,0)、B(2,0)构成三角形MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设直线y=−2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求|PR||PQ|的取值范围.
解 注意到倍角条件,可以作角平分线构造等腰三角形转化条件.
(1)作∠MBA的角平分线交MA于D,过D作x轴的垂线,垂足为E,过M作DE的垂线,垂足为H,如图.
根据已知条件可得∠DAB=∠DBA,于是DE为线段AB的垂直平分线,为定直线x=12.由角平分线定理,可得BMBA=DMDA,再由三角形DMH与三角形DAE相似可得DMDA=MHAE,于是BMBA=MHAE,从而MBMH=BAAE=2为定值.
进而由双曲线的第二定义不难得到所求的轨迹方程为x2−y23=1,x>1.
(2)设Q(x1,y1),R(x2,y2),x2x1=λ,λ>1.
联立直线与双曲线方程,可得x2−4mx+m2+3=0,该方程在(1,+∞)内有两个相异实根,于是可得m>1∧m≠2.
根据韦达定理,有(4m)2=(2+λ+1λ)⋅(m2+3),化简得λ+1λ=16m2m2+3−2,于是λ+1λ的取值范围是(2,507)∪(507,14),进而不难得到λ的取值范围是(1,7)∪(7,7+4√3).
注 (2)中用到了拓展的韦达定理,对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,若其判别式Δ⩾,两根分别为x_1、x_2,则
两根之和x_1+x_2=-\dfrac ba;
两根之积x_1x_2=\dfrac ca;
两根之差的绝对值\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{\sqrt \Delta}{|a|};
当方程的两根均不为0时,两根之比\lambda满足b^2=\left(2+\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)ac.
下面给出一道练习题:
已知b,c\in\mathcal R,若关于x的不等式0\leqslant x^2+bx+c\leqslant 4的解集为\left[x_1,x_2\right]\cup\left[x_3,x_4\right](x_2<x_3),则\left(2x_4-x_3\right)-\left(2x_1-x_2\right)的最小值是________.
参考答案 4\sqrt 3.