每日一题[238] 从作图到破题

在四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$\angle CAB=3\angle CAD$，$\angle ACD=\angle CBD$且为锐角，求$\tan\angle ACD$．
                                                                     

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正确答案为$\dfrac{\sqrt 3}{3}$．

一个常见的漂亮解法是这样的：

设$AC$与$BC$交于$E$，取$BD$的中点$F$，设$\angle CAD=\alpha$，$\angle ACD=\beta$，$AD=AB=1$．

在三角形$ABD$中，有

$$\begin{eqnarray}BD=2\sin{2\alpha},\end{eqnarray}$$ 在三角形$ACD$中，由正弦定理有 $$\begin{eqnarray}CD=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta},\end{eqnarray}$$ 在三角形$BCD$中，有 $$\angle DCB=\angle ECB+\beta=\angle DEC=\dfrac{\pi}2-\alpha,$$ 从而应用正弦定理 $$\dfrac{CD}{\sin\beta}=\dfrac{BD}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)},$$ 将(1)(2)代入，即得 $$\sin\beta=\dfrac 12,$$ 于是所求值为$\dfrac{\sqrt 3}3$．

这里得到(1)(2)后分析三角形$BCD$颇有技巧，那么如果没有注意到其中的角度关系，该如何解决这个问题呢？

我们知道，解几何题时可以通过重新作图理顺几何条件，并从中梳理出核心条件，那么对于此题，可以尝试作图．

1、作一个等腰三角形$BAD$，其中$AB=AD$；

2、取$BD$中点$F$，连接$AF$，作$\angle DAF$的平分线，设角平分线与$BD$交于$E$；

3、注意到$\angle ACD=\angle CBD$，这是典型的“反平行”相似模型，于是三角形$CDE$和三角形$BDC$相似，于是$CD^2=DE\cdot DB$．因此以$D$为圆心$\sqrt{DE\cdot DB}$为半径作圆，与$\angle DAF$的平分线交于$C$点；

4、最后连接$CD$、$CB$就完成了作图．

根据作图步骤，$DB=2\sin2\alpha$，$DE=\sin {2\alpha}-\cos{2\alpha}\cdot\tan \alpha$，于是在三角形$ACD$中应用正弦定理，有

$$\sin\beta=\dfrac{\sin\alpha}{\sqrt{DB\cdot DE}},$$ 进而代入$DB$、$DE$的值可以计算得$\sin\beta=\dfrac 12$．

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注    通过作图的方式，我们还得到了在该题中$\angle CAD$是可以变化的角，而$\angle ACD$不会受其影响，恒为$\dfrac{\pi}6$．