在四边形\(ABCD\)中，\(AB=AD\)，\(\angle CAB=3\angle CAD\)，\(\angle ACD=\angle CBD\)且为锐角，求\(\tan\angle ACD\)．
正确答案为\(\dfrac{\sqrt 3}{3}\)．
一个常见的漂亮解法是这样的：
设\(AC\)与\(BC\)交于\(E\)，取\(BD\)的中点\(F\)，设\(\angle CAD=\alpha\)，\(\angle ACD=\beta\)，\(AD=AB=1\)．
在三角形\(ABD\)中，有\[\begin{eqnarray}BD=2\sin{2\alpha},\end{eqnarray}\]在三角形\(ACD\)中，由正弦定理有\[\begin{eqnarray}CD=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta},\end{eqnarray}\]在三角形\(BCD\)中，有\[\angle DCB=\angle ECB+\beta=\angle DEC=\dfrac{\pi}2-\alpha,\]从而应用正弦定理\[\dfrac{CD}{\sin\beta}=\dfrac{BD}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)},\]将(1)(2)代入，即得\[\sin\beta=\dfrac 12,\]于是所求值为\(\dfrac{\sqrt 3}3\)．
这里得到(1)(2)后分析三角形\(BCD\)颇有技巧，那么如果没有注意到其中的角度关系，该如何解决这个问题呢？
我们知道，解几何题时可以通过重新作图理顺几何条件，并从中梳理出核心条件，那么对于此题，可以尝试作图．
1、作一个等腰三角形\(BAD\)，其中\(AB=AD\)；
2、取\(BD\)中点\(F\)，连接\(AF\)，作\(\angle DAF\)的平分线，设角平分线与\(BD\)交于\(E\)；
3、注意到\(\angle ACD=\angle CBD\)，这是典型的“反平行”相似模型，于是三角形\(CDE\)和三角形\(BDC\)相似，于是\(CD^2=DE\cdot DB\)．因此以\(D\)为圆心\(\sqrt{DE\cdot DB}\)为半径作圆，与\(\angle DAF\)的平分线交于\(C\)点；
4、最后连接\(CD\)、\(CB\)就完成了作图．
根据作图步骤，\(DB=2\sin2\alpha\)，\(DE=\sin {2\alpha}-\cos{2\alpha}\cdot\tan \alpha\)，于是在三角形\(ACD\)中应用正弦定理，有\[\sin\beta=\dfrac{\sin\alpha}{\sqrt{DB\cdot DE}},\]进而代入\(DB\)、\(DE\)的值可以计算得\(\sin\beta=\dfrac 12\)．
注 通过作图的方式，我们还得到了在该题中\(\angle CAD\)是可以变化的角，而\(\angle ACD\)不会受其影响，恒为\(\dfrac{\pi}6\)．