每日一题[230] 三角不等式

2014年高考湖南卷文科数学第10题（选择压轴题），理科数学第16题（填空压轴题）：

在平面直角坐标系中，$O$为原点，$A(-1,0)$，$B(0,\sqrt 3)$，$C(3,0)$，动点$D$满足$\left|\overrightarrow{CD}\right|=1$，则$\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right|$的取值范围是（        ）

A．$[4,6]$

B．$\left[\sqrt{19}-1,\sqrt{19}+1\right]$

C．$\left[2\sqrt 3,2\sqrt 7\right]$

D．$\left[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1\right]$

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正确答案为 D．

解    先化简欲求结论

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\left(-1,\sqrt 3\right)+\overrightarrow{OD},$$ 考虑到核心条件$\left|\overrightarrow{CD}\right|$的起点为$C$，因此应用平面向量的换底公式将上式右侧改写为 $$\left(-1,\sqrt 3\right)+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CO}=\left(2,\sqrt 3\right)+\overrightarrow{CD},$$ 进而由三角不等式得 $$\left|\left|\overrightarrow a\right|-\left|\overrightarrow b\right|\right|\leqslant \left|\overrightarrow a\pm \overrightarrow b\right|\leqslant \left|\overrightarrow a\right|+\left|\overrightarrow b\right|,$$ 因此所求范围为 $$\left[\left|\left(2,\sqrt 3\right)\right|-\left|\overrightarrow{CD}\right|,\left|\left(2,\sqrt 3\right)\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|\right],$$ 即$\left[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1\right]$．