每日一题[224] 多边形区域

2014年高考江西卷文科数学第15题（填空压轴题）：

$x,y\in\mathcal R$，若$|x|+|y|+|1-x|+|1-y|\leqslant 2$，则$x+y$的取值范围是_______．

正确答案是$[0,2]$．

解    我们熟知 $$|x|+|1-x|\geqslant |x+(1-x)|=1,$$ 等号当且仅当$0\leqslant x\leqslant 1$时取得，类似的，亦有 $$|y|+|1-y|\geqslant |y+(1-y)|=1,$$ 等号当且仅当$0\leqslant y\leqslant 1$时取得，于是题意即 $$\begin{cases}0\leqslant x\leqslant 1,\\0\leqslant y\leqslant 1,\end{cases}$$ 该不等式组表示的可行域如图所示，于是$x+y$的取值范围是$[0,2]$．

接下来思考一个扩展的问题，如果不等式右边的$2$改成$3$，可行域将会发生什么样的改变？

如图，将按$x$方向上的两个分点$x=0$和$x=1$，$y$方向上的两个分点$y=0$和$y=1$将平面区域划分为$9$个部分，在每个部分分别研究图象可得可行域将变成一个八边形，每条边的斜率均为$\pm 1$或$0$，所求$x+y$的范围变为$\left[-\dfrac 12,\dfrac 52\right]$．

那么更一般的，如果可行域变为$m$，其中$m>2$，所求$x+y$的范围会发生什么样的变化呢？

如图，可行域仍然会保持八边形的形状，所求$x+y$的取值范围为$\left[1-\dfrac m2,1+\dfrac m2\right]$．

注   $|2x|+|3y|+|1-x|+|2-y|$的等高线如图．