2014年高考江西卷文科数学第15题（填空压轴题）：
\(x,y\in\mathcal R\)，若\(|x|+|y|+|1-x|+|1-y|\leqslant 2\)，则\(x+y\)的取值范围是_______．
正确答案是\([0,2]\)．
解 我们熟知\[|x|+|1-x|\geqslant |x+(1-x)|=1,\]等号当且仅当\(0\leqslant x\leqslant 1\)时取得，类似的，亦有\[|y|+|1-y|\geqslant |y+(1-y)|=1,\]等号当且仅当\(0\leqslant y\leqslant 1\)时取得，于是题意即\[\begin{cases}0\leqslant x\leqslant 1,\\0\leqslant y\leqslant 1,\end{cases}\]该不等式组表示的可行域如图所示，于是\(x+y\)的取值范围是\([0,2]\)．
接下来思考一个扩展的问题，如果不等式右边的\(2\)改成\(3\)，可行域将会发生什么样的改变？
如图，将按\(x\)方向上的两个分点\(x=0\)和\(x=1\)，\(y\)方向上的两个分点\(y=0\)和\(y=1\)将平面区域划分为\(9\)个部分，在每个部分分别研究图象可得可行域将变成一个八边形，每条边的斜率均为\(\pm 1\)或\(0\)，所求\(x+y\)的范围变为\(\left[-\dfrac 12,\dfrac 52\right]\)．
那么更一般的，如果可行域变为\(m\)，其中\(m>2\)，所求\(x+y\)的范围会发生什么样的变化呢？
如图，可行域仍然会保持八边形的形状，所求\(x+y\)的取值范围为\(\left[1-\dfrac m2,1+\dfrac m2\right]\)．
注 \(|2x|+|3y|+|1-x|+|2-y|\)的等高线如图．
Pingback引用通告： 目标函数比值型的规划问题 | Math173
Pingback引用通告： 每周一招[10]目标函数比值型的规划问题（高一） | 数海拾贝内容系统
等号当且仅当−1⩽x⩽1时取得,这里打错了吧。应该是等号当且仅当0⩽x⩽1时取得
另外，老师能不能开个帖子讲解一下\[f\left( x \right) = \sum\limits_{i=1}^n {\left( {{a_i} \cdot \left| {x - {b_i}} \right|} \right)} \]的相关特性啊……
嗯，已修正．