每日一题[219] 降次与消元

2014年全国高中数学联赛安徽省预赛第12题：

求证：

（1）方程$x^3-x-1=0$恰有一个实根$\omega$，并且$\omega$是无理数；

（2）$\omega$不是任何整数系数二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c\in\mathcal Z$，$a\neq 0$）的根．

证明    （1）设函数$f(x)=x^3-x-1$，则 $$f'(x)=3x^2-1.$$

当$x\geqslant 1$时，$f'(x)\geqslant 0$，于是函数$f(x)$单调递增，注意到$f(1)<0$，$f(2)=5$，因此函数$f(x)$在$[1,+\infty)$上有一个实根，且此根在区间$(1,2)$上．

当$x\leqslant -1\lor 0\leqslant x<1$时，有 $$x^3-x-1=x(x^2-1)-1\leqslant -1<0,$$ 方程无实根．

当$-1<x<0$时，有 $$x^3-x-1<-(x+1)<0,$$ 方程无实根．

于是方程$x^3-x-1=0$恰有一个实根．下面用反证法证明该实根为无理数．

若实根$\omega=\dfrac qp$，其中$p,q$为互质的正整数，则 $$q^3=p^2(p+q),$$ 于是$p^2\mid q^3$，可得$p=1$，这样就与$\omega$在区间$(1,2)$上矛盾．

因此$\omega$为无理数．

（2）用反证法．若不然，则有 $$a\omega^2+b\omega+c=0,$$ 于是 $$\omega^2=-\dfrac ba\omega-\dfrac ca,$$ 利用此式对 $$\omega^3-\omega-1=0$$ 连续降次，有 $$-\dfrac ba\left(-\dfrac ba\omega-\dfrac ca\right)-\dfrac ca\omega-\omega -1=0,$$ 整理得 $$\left(a^2+ac-b^2\right)\omega+\left(a^2-bc\right)=0,$$ 从而 $$\begin{cases}a^2+ac-b^2=0,\\a^2-bc=0,\end{cases}$$ 从中消元$b$，得 $$a^2+ac-\left(\dfrac{a^2}{c}\right)^2=0,$$ 即 $$\left(\dfrac ac\right)^3-\dfrac ac-1=0,$$ 由第1小题可知，矛盾．

因此原命题得证．