2014年全国高中数学联赛安徽省预赛第12题：
求证：
（1）方程\(x^3-x-1=0\)恰有一个实根\(\omega\)，并且\(\omega\)是无理数；
（2）\(\omega\)不是任何整数系数二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a,b,c\in\mathcal Z\)，\(a\neq 0\)）的根．
证明 （1）设函数\(f(x)=x^3-x-1\)，则\[f'(x)=3x^2-1.\]
当\(x\geqslant 1\)时，\(f'(x)\geqslant 0\)，于是函数\(f(x)\)单调递增，注意到\(f(1)<0\)，\(f(2)=5\)，因此函数\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上有一个实根，且此根在区间\((1,2)\)上．
当\(x\leqslant -1\lor 0\leqslant x<1\)时，有\[x^3-x-1=x(x^2-1)-1\leqslant -1<0,\]方程无实根．
当\(-1<x<0\)时，有\[x^3-x-1<-(x+1)<0,\]方程无实根．
于是方程\(x^3-x-1=0\)恰有一个实根．下面用反证法证明该实根为无理数．
若实根\(\omega=\dfrac qp\)，其中\(p,q\)为互质的正整数，则\[q^3=p^2(p+q),\]于是\(p^2\mid q^3\)，可得\(p=1\)，这样就与\(\omega\)在区间\((1,2)\)上矛盾．
因此\(\omega\)为无理数．
（2）用反证法．若不然，则有\[a\omega^2+b\omega+c=0,\]于是\[\omega^2=-\dfrac ba\omega-\dfrac ca,\]利用此式对\[\omega^3-\omega-1=0\]连续降次，有\[-\dfrac ba\left(-\dfrac ba\omega-\dfrac ca\right)-\dfrac ca\omega-\omega -1=0,\]整理得\[\left(a^2+ac-b^2\right)\omega+\left(a^2-bc\right)=0,\]从而\[\begin{cases}a^2+ac-b^2=0,\\a^2-bc=0,\end{cases}\]从中消元\(b\)，得\[a^2+ac-\left(\dfrac{a^2}{c}\right)^2=0,\]即\[\left(\dfrac ac\right)^3-\dfrac ac-1=0,\]由第1小题可知，矛盾．
因此原命题得证．