每日一题[218] 三元不等式的齐次化

2014年全国高中数学联赛贵州省预赛第5题：

已知$a,b,c,\in [0,1]$，则$\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ca+1}+\dfrac{c}{ab+1}$的取值范围是_______．

正确答案是$[0,2]$．

解    由于$a,b,c$轮换，于是最大值与最小值很有可能在边界或均值时取得．经过验证可得$(a,b,c)=(0,0,0)$时，原式取得可能的最小值$0$，当$(a,b,c)=(1,1,0)$时，原式取得可能的最大值$2$．接下来我们尝试证明．

显然，原式为非负代数式，因此最小值为$0$；

另一方面，根据已知有 $$(1-a)(1-b)\geqslant 0,$$ 于是 $$ab+1\geqslant a+b,$$ 进而 $$2(ab+1)\geqslant a+b+c,$$ 因此 $$LHS\leqslant  \sum_{cyc}{\dfrac{2a}{a+b+c}}=2,$$ 故原式最大值为$2$．

注    利用边界条件将$ab+1$转化为齐次的$a+b$是解决问题的关键步骤，同时 $$(1\pm a)(1\pm b)=1+ab\pm (a+b)$$ 也是和$ab+1$相关的重要代数变形．