每日一题[211] 寻找周期性

2014年全国高中数学联赛河南省预赛第7题：

符号$[x]$表示不超过$x$的最大整数，$n$是正整数，则$\sum\limits_{n=1}^{2014}\left(\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac n3\right]+\left[\dfrac n6\right]\right)$的值是_______．

正确答案是$2027091$．

注意到 $$\dfrac n2+\dfrac n3+\dfrac n6=n,$$ 也就是说如果没有取整函数的作用，那么所求的和即$\sum\limits_{n=1}^{2014}n$．但由于取整函数有“收尾”的功效，于是每个$n$都有可能被三个取整函数“削减”．那么不同的$n$被“削减”的幅度到底有多大呢？

此类问题一般先从探索周期性入手．设削减幅度函数 $$\Delta (n)=n-\left(\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac n3\right]+\left[\dfrac n6\right]\right),$$ 则有 $$\Delta (n+6)=\Delta (n),$$ 于是削减幅度函数具有周期性，在一个周期内的削减量分别为 $$\Delta (n)=\begin{cases}1,&n=1,2,3,4,\\2,&n=5,\\0,&n=6,\end{cases}$$ 因此总削减量为 $$6\cdot \left[\dfrac {2014}6\right]+\Delta (1)+\Delta (2) +\Delta (3)+\Delta (4)=2014,$$ 所求和式的值为 $$\sum_{n=1}^{2014}n-2014=2027091.$$

注    关于取整函数有一个著名的恒等式（厄尔米特恒等式）：

$$\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\dfrac kn\right]=\left[ nx\right],$$ 其中$x\geqslant 0$，$n\in \mathcal N^*$．该恒等式可以留做练习．

提示    函数 $$f(x)=\left[ nx\right]-\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\dfrac kn\right]$$ 是周期为$\dfrac 1n$的函数，因此只需要证明$x\in\left[0,\dfrac 1n\right)$上的情形．