每日一题[209] 比较大小

2014年全国高中数学联赛河南省预赛第6题：

$65^{1000}-8^{2001}$的值与零的大小关系为_______．

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正确答案是大于．

只需要比较$(64+1)^{1000}$与$8\cdot 64^{1000}$的大小关系，也即比较$\left(1+\dfrac{1}{64}\right)^{1000}$与$8$的大小关系．

事实上，我们有

$$\left(1+\dfrac{1}{64}\right)^{1000}>1+\dfrac{1}{64}\cdot 1000>8,$$ 于是正确的答案是大于．

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注   推理过程中用到了伯努利不等式．图中的曲线和直线分别为$y=\left(1+\dfrac{1}{64}\right)^x$与$y=1+\dfrac{x}{64}$的图象，可以看到随着$x$的增大，后来两者的差距明显拉开．