2015年全国高中数学联赛安徽省预赛第3题：
设平面向量→a、→b满足|→a|,|→b|,|→a+→b|∈[1,3]，则→a⋅→b的取值范围是_______．
正确答案是[−172,94]．
法一
由于→a⋅→b=12(|→a+→b|2−|→a|2−|→b|2)⩾−172,
又→a⋅→b=14(|→a+→b|2−|→a−→b|2)⩽94,
且两个不等式中的等号均可取得，因此→a⋅→b的取值范围是[−172,94]．
法二
设平面内→OA=→a、→OB=−→b，则|→AB|=|→a+→b|．
于是问题转化为在圆环1⩽r⩽3上的两点A、B之间的距离在[1,3]之间，求−(→OA⋅→OB)的取值范围．
应用极化恒等式，有→OA⋅→OB=OM2−14AB2,
其中M为线段AB的中点．
显然有1⩽AB2⩽9，接下来考虑OM2的取值范围．
显然当A、B位于半径为3的圆周上，且AB的长度为1时OM2取得最大值，为32−(12)2=354．从而OM2的取值范围是0⩽OM2⩽354．
因此0−94⩽OM2−14AB2⩽354−14,
从而−94⩽→OA⋅→OB⩽172,
即→a⋅→b的取值范围是[−172,94]．
注 关于极化恒等式，提供两道练习题：
1、已知→a⋅→b=0，(→a−→c)⋅(→b−→c)=0，|→a−→c|=√3，|→b−→c|=1，则|→a+→c|的最大值是_______．（3）
2、C、D两点在三角形PAB的边AB上，且AC=BD．若∠CPD=90∘，且PA2+PB2=10，则AB+CD的最大值为_______．（2√10）
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