已知 $\dfrac{a-\ln 2}{\ln \sqrt{3}}=\dfrac{2^b-\ln 3}{\ln 4}=\dfrac{c^2-\ln 6}{\ln 2}$，若 $b-1=\log _2 a$，则正数 $a, b, c$ 的大小关系是（ ）
A．$a<c<b$
B．$c<a<b$
C．$a<b<c$
D．$b<a<c$
答案 C．
解析 设题中比例式的比值为 $x$，则\[\begin{cases} a=\frac x2\ln 3+\ln 2,\\ 2^b=2x\ln 2+\ln 3,\\ c^2=(x+1)\ln 2+\ln 3,\end{cases}\]于是\[b-1=\log_2a\iff 2a=2^b\iff x\ln 3+2\ln 2=2x\ln 2+\ln 3\iff x=1,\]于是\[\begin{cases} a=\ln 2+\frac 12\ln 3=\frac 12\ln 12,\\ 2^b=2\ln 2+\ln 3=\ln 12,\\ c^2=2\ln 2+\ln 3=\ln 12,\end{cases}\]设 $a(x)=2x$，$b(x)=2^x$，$c(x)=x^2$，则 $a,b,c$ 分别为函数 $a(x),b(x),c(x)$ 与直线 $y=\ln 12$ 交点的横坐标．如图，注意到函数 $b(x),c(x)$ 均为下凸函数，函数 $b(x)$ 与直线 $a(x)$ 交于 $(1,2),(2,4)$，函数 $c(x)$ 与直线 $a(x)$ 交于 $(0,0),(2,4)$，函数 $b(x)$ 与函数 $c(x)$ 交于 $(2,2),(4,16)$（且二者在第一象限只有 $2$ 个公共点），可得 $a<b<c$．
