每日一题[169] 相似三角形

2015年高考重庆卷理科数学第10题（选择压轴题）：

设双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为$F$，右顶点为$A$，过$F$作$AF$的垂线与双曲线交于$B$、$C$两点，过$B$、$C$分别作$AC$、$AB$的垂线，两垂线交于点$D$．若$D$到直线$BC$的距离小于$a+\sqrt{a^2+b^2}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（        ）

A．$\left(-1,0\right)\cup\left(0,1\right)$

B．$\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$

C．$\left(-\sqrt 2,0\right)\cup\left(0,\sqrt 2\right)$

D．$\left(-\infty,-\sqrt 2\right)\cup\left(\sqrt 2,+\infty\right)$

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正确答案是A．

如图，根据已知条件$\triangle BDF$与$\triangle ABF$相似，于是

$$BF^2=AF\cdot DF,$$ 即 $$DF=\left(\dfrac{b^2}{a}\right)^2\cdot\dfrac{1}{c-a}<a+\sqrt{a^2+b^2}=c+a,$$ 整理得 $$b^2<a^2,$$ 于是该双曲线渐近线的斜率的取值范围是$\left(-1,0\right)\cup\left(0,1\right)$，