每日一题[167] 单调性的定义

2015年高考四川卷理科数学第15题（填空压轴题）：

已知函数$f(x)=2^x$，$g(x)=x^2+ax$（其中$a\in\mathcal R$，对于不相等的实数$x_1,x_2$，设$m=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$，$n=\dfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}$．现有如下命题：

① 对于任意不相等的实数$x_1,x_2$，都有$m>0$；

② 对于任意的$a$及任意不相等的实数$x_1,x_2$，都有$n>0$；

③ 对于任意的$a$，存在不相等的实数$x_1,x_2$，使得$m=n$；

④ 对于任意的$a$，存在不相等的实数$x_1,x_2$，使得$m=-n$．

其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）．

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正确答案是①④．

当$x_1,x_2$为任意不相等的实数时，$m$恒正等价于函数$f(x)$为单调递增函数，$m$恒负等价于函数$f(x)$是单调递减函数，于是①正确．类似的，可以判断②错误．

对于③，$m=n$等价于

$$f(x_1)-f(x_2)=g(x_1)-g(x_2),$$ 即 $$f(x_1)-g(x_1)=f(x_2)-g(x_2),$$ 也即函数$h(x)=f(x)-g(x)$与某条水平直线（斜率为$0$）有两个不同交点，等价于$h(x)$不为单调函数，也即$h'(x)$存在变号零点．事实上， $$h(x)=2^x-x^2-ax,$$ 于是 $$h'(x)=2^x\ln 2-2x-a,$$ 其零点为直线$y=a$与曲线$y=2^x\ln 2-2x$的交点横坐标．考虑到 $$\left(2^x\ln 2-2x\right)'=2^x\ln^2 2-2,$$ 于是$y=2^x\ln 2-2x$有最小值，因此存在$a$使得$h'(x)$没有零点，③错误．

对于④，采用与③类似的分析方法，只需要判断函数$k(x)=f(x)+g(x)$的导函数

$$k'(x)=2^x\ln 2+2x+a$$ 是否存在变号零点．考虑到$y=2^x\ln 2+2x$是值域为$\mathcal R$的单调递增函数，于是无论$a$取何值，$k'(x)$均存在变号零点，④正确．

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注    所谓“变号零点”，就是指在该零点附近左邻域与右邻域的函数值符号相反．