2015年高考四川卷理科数学第15题（填空压轴题）：
已知函数\(f(x)=2^x\)，\(g(x)=x^2+ax\)（其中\(a\in\mathcal R\)，对于不相等的实数\(x_1,x_2\)，设\(m=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\)，\(n=\dfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}\)．现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数\(x_1,x_2\)，都有\(m>0\)；
② 对于任意的\(a\)及任意不相等的实数\(x_1,x_2\)，都有\(n>0\)；
③ 对于任意的\(a\)，存在不相等的实数\(x_1,x_2\)，使得\(m=n\)；
④ 对于任意的\(a\)，存在不相等的实数\(x_1,x_2\)，使得\(m=-n\)．
其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）．
正确答案是①④．
当\(x_1,x_2\)为任意不相等的实数时，\(m\)恒正等价于函数\(f(x)\)为单调递增函数，\(m\)恒负等价于函数\(f(x)\)是单调递减函数，于是①正确．类似的，可以判断②错误．
对于③，\(m=n\)等价于\[f(x_1)-f(x_2)=g(x_1)-g(x_2),\]即\[f(x_1)-g(x_1)=f(x_2)-g(x_2),\]也即函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)与某条水平直线（斜率为\(0\)）有两个不同交点，等价于\(h(x)\)不为单调函数，也即\(h'(x)\)存在变号零点．事实上，\[h(x)=2^x-x^2-ax,\]于是\[h'(x)=2^x\ln 2-2x-a,\]其零点为直线\(y=a\)与曲线\(y=2^x\ln 2-2x\)的交点横坐标．考虑到\[\left(2^x\ln 2-2x\right)'=2^x\ln^2 2-2,\]于是\(y=2^x\ln 2-2x\)有最小值，因此存在\(a\)使得\(h'(x)\)没有零点，③错误．
对于④，采用与③类似的分析方法，只需要判断函数\(k(x)=f(x)+g(x)\)的导函数\[k'(x)=2^x\ln 2+2x+a\]是否存在变号零点．考虑到\(y=2^x\ln 2+2x\)是值域为\(\mathcal R\)的单调递增函数，于是无论\(a\)取何值，\(k'(x)\)均存在变号零点，④正确．
注 所谓“变号零点”，就是指在该零点附近左邻域与右邻域的函数值符号相反．