每日一题[163] 均值不等式与裂项求和

2015年高考湖北卷理科数学第22题（压轴题）：

已知数列$\left\{a_n\right\}$的各项均为正数，$b_n=n\left(1+\dfrac 1n\right)^na_n$（$n\in\mathcal N^*$），$\rm e$为自然对数的底数．

（1）求函数$f(x)=1+x-{\rm e}^x$的单调区间，并比较$\left(1+\dfrac 1n\right)^n$与$\rm e$的大小；

（2）计算$\dfrac {b_1}{a_1}$，$\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}$，$\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}$，并由此推测计算$\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}$的公式，并给出证明；

（3）令$c_n=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac 1n}$，数列$\{a_n\}$，$\{c_n\}$的前$n$项和分别记为$S_n$，$T_n$，证明：$T_n<{\rm e}S_n$．

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（1）解    根据已知

$$f'(x)=1-{\rm e}^x,$$ 于是函数$f(x)$的单调递增区间是$(-\infty,0)$，单调递减区间是$(0,+\infty)$．

因此由$f(0)>f\left(\dfrac 1n\right)$得

$$0>1+\dfrac 1n-{\rm e}^{\frac 1n},$$ 整理得 $$\left(1+\frac 1n\right)^n<{\rm e}.$$

（2）解   根据已知

$$\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{(n+1)^n}{n^{n-1}},$$ 于是 $$\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{2^1}{1^0},\dfrac{b_2}{a_2}=\dfrac{3^2}{2^1},\dfrac{b_3}{a_3}=\dfrac{4^3}{3^2},$$ 因此 $$\dfrac{b_1}{a_1}=2,\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}=9,\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}=64.$$ 进而 $$\begin{split}\frac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}&=\dfrac{2^1}{1^0}\cdot\dfrac{3^2}{2^1}\cdot\frac{4^3}{3^2}\cdots\frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}\\&=(n+1)^n.\end{split}$$

（3）证明    根据已知

$$\begin{split}c_n&=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac 1n}\\&=\left(\frac{b_1b_2\cdots b_n}{(n+1)^n}\right)^{\frac 1n}\\&=\frac{\left(b_1b_2\cdots b_n\right)^{\frac 1n}}{n+1}\\&\leqslant \dfrac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n(n+1)}\\&=b_1\cdot\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)+b_2\cdot\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)+\cdots+b_n\cdot\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right),\end{split}$$ 于是 $$\begin{split} T_n&\leqslant b_1\cdot\left[\left(\frac 11-\frac 12\right)+\left(\frac 12-\frac 13\right)+\cdots+\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\right]+b_2\cdot\left[\left(\frac 12-\frac 13\right)+\cdots+\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\right]+\cdots+b_n\cdot\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\\&<b_1+\frac{b_2}{2}+\cdots+\frac{b_n}{n}\\&=\left(1+\frac 11\right)^1a_1+\left(1+\frac 12\right)^2a_2\cdots+\left(1+\frac 1n\right)^na_n\\&<{\rm e}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\\&={\rm e}S_n,\end{split}$$ 因此命题得证．