每日一题[3802]根与方程

椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0)的左顶点为 A,右顶点为 B,满足 |AB|=4,且椭圆 E 的离心率为 32

1、求椭圆 E 的标准方程;

2、已知点 T(t,12) 在椭圆 E 的内部,直线 AT 和直线 BT 分别与椭圆 E 交于另外的点 C 和点 D,若 CDT 的面积为 117,求 t 的值.

解析

1、椭圆的长轴长 |AB|=4,于是 a=2,离心率 1b2a2=32,于是 b=1,从而椭圆 E 的标准方程为 x24+y2=1

2、设 C(x1,y1),D(x2,y2),记 B(a,0),则 BT:x=a+2(ta)y,与椭圆 x2a2+y2=1 联立可得((4(ta)2+a2)y2+4a(ta)y=0,

于是y2=4a(at)4(at)2+a2,
分别令 a=2,2,可得y1=2t+4t2+4t+5,y2=2t+4t24t+5,
于是(t2+5)y14=(24y1)t,(t2+5)y24=(24y2)(t),
因此 y1,y2 是关于 y 的方程((t2+5)y4)2=(24y)2t2,
的两个实根,而根据三角形面积坐标公式,有 [1][CDT]=12|(x1t)(y212)(x2t)(y112)|=12|(t+2)(2y11)(y212)(t2)(2y21)(y112)|=4(12y1)(12y2),
将方程变形为((t2+5)y4)2(24y)2t2(t2+5)216t2=(yy1)(yy2),
所以(t2+524)2(t2+5)216t2=168t46t2+9t46t2+25=117t46t2=8,
于是 t=±2(舍去)或 t=±2,因此所求 t 的值为 ±2

备注    [1] 也可以注意到 ABT 的面积为 1,进而[CDT][ABT]=117(y112)(y212)1212=117(12y1)(12y2)=168,

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