椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为 A,右顶点为 B,满足 |AB|=4,且椭圆 E 的离心率为 √32.
1、求椭圆 E 的标准方程;
2、已知点 T(t,12) 在椭圆 E 的内部,直线 AT 和直线 BT 分别与椭圆 E 交于另外的点 C 和点 D,若 △CDT 的面积为 117,求 t 的值.
解析
1、椭圆的长轴长 |AB|=4,于是 a=2,离心率 √1−b2a2=√32,于是 b=1,从而椭圆 E 的标准方程为 x24+y2=1.
2、设 C(x1,y1),D(x2,y2),记 B(a,0),则 BT:x=a+2(t−a)y,与椭圆 x2a2+y2=1 联立可得((4(t−a)2+a2)y2+4a(t−a)y=0,
于是y2=4a(a−t)4(a−t)2+a2,
分别令 a=2,−2,可得y1=2t+4t2+4t+5,y2=−2t+4t2−4t+5,
于是(t2+5)y1−4=(2−4y1)t,(t2+5)y2−4=(2−4y2)(−t),
因此 y1,y2 是关于 y 的方程((t2+5)y−4)2=(2−4y)2t2,
的两个实根,而根据三角形面积坐标公式,有 [1][△CDT]=12|(x1−t)(y2−12)−(x2−t)(y1−12)|=12|(t+2)(2y1−1)(y2−12)−(t−2)(2y2−1)(y1−12)|=4(12−y1)(12−y2),
将方程变形为((t2+5)y−4)2−(2−4y)2t2(t2+5)2−16t2=(y−y1)(y−y2),
所以(t2+52−4)2(t2+5)2−16t2=168⟺t4−6t2+9t4−6t2+25=117⟺t4−6t2=8,
于是 t=±2(舍去)或 t=±√2,因此所求 t 的值为 ±√2.
备注 [1] 也可以注意到 △ABT 的面积为 1,进而[△CDT][△ABT]=117⟺(y1−12)(y2−12)12⋅12=117⟺(12−y1)(12−y2)=168,