每日一题[3782]斜坐标系

2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16

如图所示，在平行六面体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 $3$ 的菱形，$AA_1=4$，$\angle DAB=\angle A_1 AB=\angle A_1 AD=60^{\circ}$，$E,F$ 分别在线段 $B_1 B$ 和 $D_1 D$ 上，且 $BE=\dfrac 1 4 BB_1$，$DF=\dfrac 3 4 DD_1$．

1、证明：$A,E,C_1,F$ 四点共面；

2、求平面 $AEC_1 F$ 与平面 $A_1 ADD_1$ 夹角的余弦值．

解析

1、设 $\overrightarrow{AB}=3\boldsymbol a$，$\overrightarrow{AD}=3\boldsymbol b$，$\overrightarrow{AA_1}=4\boldsymbol c$，且

$$(x,y,z)=x\boldsymbol a+y\boldsymbol b+z\boldsymbol c,$$ 则 $E(3,0,1)$，$F(0,3,3)$，$C_1(3,3,4)$，从而 $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FC_1}$，从而 $AEC_1F$ 为平行四边形，进而命题得证．

2、根据题意，有 $|DA|=|DF|=3$，取 $AF$ 的中点 $M$，则 $DM\perp AF$，在 $\triangle AFE$ 中，有

$$|AE|=|(3,0,1)|=\sqrt{13},\quad |EF|=|(-3,3,2)|=\sqrt{13},$$ 于是所求余弦值为 $|\cos\angle DME|$，而 $M\left(0,\dfrac 32,\dfrac 32\right)$，于是 $$\overrightarrow{MD}=\left(0,\dfrac 32,-\dfrac 32\right),\quad \overrightarrow{ME}=\left(3,-\dfrac 32,-\dfrac 12\right),$$ 从而 $$|\cos\angle DME|=\dfrac{\left|\overrightarrow{MD}\cdot \overrightarrow{ME}\right|}{|MD|\cdot |ME|}=\dfrac{\left|-\frac 34\right|}{\frac 32\cdot \frac 52}=\dfrac 15,$$ 因此所求夹角的余弦值为 $\dfrac 15$．